모순을 찾아라 – 항등식의 기술 (울산대, 2020)

이 글에서는 항등식의 기술이 문제에서 어떻게 사용되는지를 살펴보고자 합니다. 이 문제는 항등식의 기술이 문제가 요구하는 모순을 어떻게 이끌어 낼 수 있는지를 잘 보여주는 문제입니다.

문제

서로의 차가 \(2\)이상인 네 정수 $$p>q>r>s$$가 주어질 때 다음 조건 (가), (나)를 모두 만족하는 계수가 정수인 3차 다항식 \(f(x)\)가 존재할 수 없음을 보이시오. $$\begin{align}
&A=f(p)-f(q), B=f(q)-f(r)\\
&C=f(r)-f(s), D=f(s)-f(p)\\
\end{align}$$라 하면, $$\begin{align}
&\text{(가) } ABCD<0\\
&\text{(나) } |A|,|B|,|C|,|D|\text{ 는 모두 소수}
\end{align}$$

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식의 계산, 정수 , , 7 Comments

항등식의 기술

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$라고 할 때,

서로 다른 \(n+1\)개의 실수 \(p_1,p_2,…,p_{n+1}\)에 대해,  $$\begin{align}
&f(p_1)=f(p_2)=\cdots=f(p_{n+1})=0\\
&\Leftrightarrow f(x)=0 \text{이 }x\text{에 대한 항등식}\end{align}$$

  항등식에 관한 문제를 풀다보면 이 사실을 핵심으로 하는 풀이를 가진 문제를 종종 볼 수 있습니다.  이 글에서는 이 명제를 증명하고, 실제 문제에서 어떻게 이 명제를 사용할 수 있는지 살펴보겠습니다.

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식의 계산 , 2 Comments

소소하지만 확실한 테크닉 – 지수함수와 고속적분

어떤 함수와 도함수의 합이나 차가 지수함수와 곱해져 있는 식을 적분할 때, 다음 식을 이용하면 무척 편하게 부정적분을 구할 수 있는 경우가 있습니다.

$$\begin{align}
&\int (f(x)+f'(x))e^x dx=f(x)e^x+C\\
&\int (f(x)-f'(x))e^{-x} dx =-f(x)e^{-x}+C\\
\end{align}$$

이 글에서는 이 식의 간단한 증명과 예를 살펴봅니다.

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적분 , , 3 Comments

미적분 부등식의 GOAT (feat. 조화급수, 2017 한양대 자연)

이 글에서는 미적분에서 가장 중요한 부등식 중 하나를 소개합니다. 이 부등식은 미적분의 여러 부등식 문제에서 약방의 감초처럼 사용되는 아주 중요한 부등식으로, 이 부등식의 특징은 입시문제에서 자주 사용하는 중요한 소재 중 하나입니다.

$$\ln x \leq x-1\tag{1}\label{eq1}$$

이 글에서는 이 부등식이 성립하는 이유를 알아보고 이 부등식의 특징과 활용방법 그리고 이 부등식을 이용한 입시 문제를 살펴보겠습니다.

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미분, 부등식, 적분 , , , , 7 Comments

전설의 수학 문제를 찾아서 – 원탁위의 카드 (2) (2016, 서울대)

전설의 수학 문제를 찾아서 8번째 문제 2016학년도 서울대 구술 고사 문제인 원탁위의 카드 두번째 글입니다. 일대일 대응의 개념을 사용하여 만들어진 멋진 문제입니다. 이 문제에서 우리가 배울 수 있는 일대일 대응의 성질은 무엇일까요?

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경우의 수, 함수 , , One Comment

삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 넓이의 고속 적분 -1/12 공식

3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고,  x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는

$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$

이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.

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적분 , , , 11 Comments

역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점

함수 \(f(x)\)와 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)의 그래프가 모두 \((a,b)\)를 지날 때, 다음 문장은 참일까요? 거짓일까요?

[진실?/거짓?] 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(g(x)\)의 모든 교점 \((a,b)\)는 직선 \(y=x\)위에 있다.

이 글에서는 함수와 역함수의 교점에 대해 흔히 빠질 수 있는 논리 함정에 대해 이야기 하고, 함수와 역함수의 교점에 대한 중요한 몇가지 성질들에 대해 이야기 합니다. (more…)

함수 , , , , 48 Comments

삼차함수의 접선의 개수

좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.

이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.

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함수 , , , 5 Comments

베이즈 정리와 조건부 확률의 관계

베이즈 정리란 사후 확률 (posterior probability) 을 사전 확률 (prior probability) 를 이용하여 표현하는 방법으로 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.

사건 B가 먼저 일어난 후 사건 A가 일어날 때, $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$$$\begin{aligned}P(B|A)&\text{ : 사후 확률, 나중에 일어나는 사건 A를 전제로 하는 조건부 확률}\\
P(B)&\text{ : 사전 확률,  사건 A가 일어나기전 사건 B가 일어날 확률}\\
P(A|B)&\text{ : 사건 B가 일어난 후에 사건 A가 일어날 확률}\end{aligned}$$

이 글에서는 베이즈 정리를 직접 유도해보면서 사후 확률과 베이즈 정리의 의미와 목적에 대해 설명하고, 이 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)

확률 , , 8 Comments

역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 적분

\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,

$$\begin{align}\int \sin^{-1}xdx&= x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \cos^{-1}xdx&=x\cos^{-1}x-\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \tan^{-1}xdx&=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C
\end{align}$$

입니다. 이 글에서는 역함수 치환적분의 원리를 설명하고, 이를 이용해서 역삼각함수의 적분을 증명해 보겠습니다.

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삼각함수, 적분 , , , , , 5 Comments

역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분

\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,

$$\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin^{-1}x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\cos^{-1}x&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\tan^{-1}x&=\frac{1}{1+x^2}
\end{align}$$

입니다. 이 글에서는 역삼각함수의 도함수를 구하는 방법과 그 원리를 설명합니다.

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미분 , , , , , 12 Comments

그래프의 확대 및 축소 변환

\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$

\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$

그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.

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함수 , 5 Comments