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좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.

이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.

접선의 개수를 파악하는 방법

모든 것은 함수 \(f(x)\)위의 점 \((t,f(t))\)에서의 접선의 방정식을 구하는 것에서 시작합니다. 접선에 관한 문제를 미분을 이용해서 풀 때 가장 먼저 파악해야 할 것은, 접점의 위치(또는 좌표)입니다. 이 접점의 좌표는 문제에서 주어질 때도있고, 그렇지 않을 때도 있습니다. 만약 문제에서 접점의 좌표가 주어지지 않을 때에는 \(t\)나 \(s\)등의 문자를 사용하여 접점의 좌표를 \((t,f(t))\) 나 \((s,f(s))\)등으로 나타내 주어야 합니다.

문제에서는 좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)에 내린 접선이라고만 하였을 뿐, 점 \((a,b)\)의 위치에 대해서는 어떠한 가정도 하고 있지 않습니다.

따라서 점 \((a,b)\)는 삼차함수 그래프 위에 있는 점일 수도 있고, 그렇지 않을 수도 있습니다.

점점 \((t,f(t))\)에서의 접선의 방정식은 $$y=f'(t)(x-t)+f(t)$$입니다. 이 직선은 점 \((a,b)\)를 지나야 하므로 \(a\)와 \(b\)를 각각 \(x\)와 \(y\)에 대입해주면 다음과 같은 등식을 얻을 수 있습니다. $$\begin{align}
&b=f'(t)(a-t)+f(t)\\
&\Leftrightarrow f'(t)(a-t)+f(t)-b=0
\end{align}$$ \(a\)와 \(b\)를 상수로 해석하면, 이 방정식은 \(t\)에 대한 방정식이 됩니다. \(f(x)\)는 삼차함수이므로$$f(x)=px^3+(이차이하의\ 식)$$이라 하면,  $$f'(x)=3px^2+\text{(일차이하의 식)}$$이므로 $$\begin{align}
tf'(t)&=t(3pt^2+\text{(일차이하의 식)})\\
&=3pt^3+\text{(이차이하의 식)}\\
\end{align}$$입니다. 즉, $$\begin{align}
&f'(t)(a-t)+f(t)-b\\
&=-2pt^3+\text{(이차이하의 식)}
\end{align}$$이므로 방정식 $$f'(t)(a-t)+f(t)-b=0$$은 삼차 방정식입니다.

삼차 방정식의 실수해 \(t\)의 개수는 최소 \(1\)개에서 최대 \(3\)개입니다. 따라서 접점 \((t,f(t))\)의 개수 역시 최소 \(1\)개, 최대 \(3\)개가 되어야 합니다. 그런데, [삼차함수의 그래프는 이중접선을 가질 수 없으므로] 두 개의 접점을 동시에 지나는 접선이 존재할 수 없습니다. 따라서 접점 한 개당 서로 다른 접선을 한 개씩 갖기때문에 \((a,b)\)를 지나는 \(f(x)\)의 접선의 개수는 삼차 방정식 $$f(t)+f'(t)(a-t)-b=0$$의 해의 개수와 일치합니다.

따라서 접선의 개수를 결정하기 위해서는 삼차 방정식 $$f(t)+f'(t)(a-t)-b=0$$의 해의 개수가 \((a,b)\)의 위치에 따라 어떻게 변하는지 조사해 보아야 합니다. 이 방정식의 우변은 \(0\)이므로 이 방정식의 좌변을 \(g(t)=f(t)+f'(t)(a-t)-b\)로 정의하면 삼차함수 \(g(t)\)의 그래프와 \(t\)축이 만나는 점의 개수를 조사하여 방정식 \(g(t)=0\)의 근의 개수를 찾아낼 수 있습니다.

삼차함수 \(g(t)\)의 도함수 \(g'(t)\)는 매우 흥미로운 모습을 하고 있습니다. \(g(t)\)를 미분하면 $$\begin{align}
g'(t)&=f'(t)+f^{\prime\prime}(a-t)-f'(t)\\
&=f^{\prime\prime}(t)(a-t)\\
\end{align}$$입니다. 따라서 방정식 $$\begin{align}
&g'(t)=0\\
&\Leftrightarrow f^{\prime\prime}(t)(a-t)=0\\
&\Leftrightarrow f^{\prime\prime}(t)=0\ 또는\ (a-t)=0\\
\end{align}$$ 입니다.

\(f^{\prime\prime}(t)=0\)

먼저 방정식 $$f^{\prime\prime}(t)=0$$은 바로 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프의 변곡점의 위치를 찾기 위한 방정식입니다. 삼차함수는 언제나 한 개의 변곡점을 갖기 때문에, 변곡점의 좌표를 \((p, f(p))\)라 하면 \(f^{\prime\prime}(p)=0\)입니다. 따라서 방정식 $$f^{\prime\prime}(t)=0$$의 해 $$t=p$$입니다.

\(a-t=0\)

방정식 \(a-t=0\)의 근은 \(t=a\) 입니다. 접점의 좌표가 \((t,f(t))\) 이므로 \(t=a\)라면, \((a,b)\)가 접점 \((t,f(t))\)와 같다는 것을 의미합니다. 만약 점 \((a,b)\)가 접점과 일치하지 않는다면 두 점 \((a,b)\)와 접점을 \((t,f(t))\)를 연결한 접선의 기울기 $$\frac{f(t)-b}{t-a}=\frac{f(t)-b}{0}$$이 되어 접선의 기울기를 정의할 수 없게 됩니다.

이제 방정식 \(g'(t)=0\)의 해가 \(p\) 또는 \(a\)라는 것을 알게 되었습니다. 즉 \(g'(p)=g'(a)=0\)을 만족하고 있으므로 삼차 방정식 \(g(t)=0\)의 근의 개수를 세기 위해서는 [특정한 조건을 만족하는 삼차방정식의 근의 개수 Ⅰ]를이용하면 됩니다.

$$\begin{array}{c|c} \text{조건} & \text{근의 개수}\\\hline
g(p)g(a)>0 & \text{\(1\)개}\\\hline
g(p)g(a)=0 & \begin{array} {c|c} p=a & \text{\(1\)개}\\\hline p \ne a & \text{\(2\) 개}\end{array} \\\hline
g(p)g(a)<0 & \text{\(3\) 개}
\end{array}$$

따라서 접선의 개수를 세기 위해서는 이 표에 나오는 등식 (\(g(p)=0\), \(g(a)=0\))과 부등식 (\(g(p)>0\), \(g(p)<0\), \(g(a)>0\), \(g(a)<0\))을 먼저 해석할 수 있어야 합니다.

\(g(p)=0\), \(g(p)>0\), \(g(p)<0\)의 해석

① : \(g(p)=0\)

$$\begin{align}
&g(p)=0\\
&\Leftrightarrow f'(p)(a-p)+f(p)-b=0\\
&\Leftrightarrow b=f'(p)(a-p)+f(p)
\end{align}$$ 입니다. 이 식은 방정식 \(y=f'(p)(x-p)+f(p)\)에 \(x=a\), \(y=b\)를 대입한 것으로 생각할 수 있습니다.  즉, \(g(p)=0\)을 만족하기 위해서는 점 \((a,b)\)가 방정식 \(y=f'(p)(x-p)+f(p)\)의 해가 되어야 하고, 이것은 변곡점 \((p, f(p))\)에서의 접선이 점 \((a,b)\)를 통과하는 것을 나타냅니다. 따라서 점 \((a,b)\)는 변곡점을 지나는 직선위의 한 점이 됩니다.

② : \(g(p)>0\)

$$\begin{align}
&g(p)>0\\
&\Leftrightarrow f'(p)(a-p)+f(p)-b>0\\
&\Leftrightarrow b < f'(p)(a-p)+f(p)
\end{align}$$ 입니다. 이 식은 부등식 \(y<f'(p)(x-p)+f(p)\)에 \(x=a\), \(y=b\)를 대입한 것으로 생각할 수 있습니다.  즉, \(g(p)>0\)을 만족하기 위해서는 점 \((a,b)\)가 부등식 \(y<f'(p)(x-p)+f(p)\)의 해가 되어야 하므로 변곡점에서 접하는 접선보다 아래쪽에 있는 영역에 점 \((a,b)\)가 존재해야 하는 것을 나타냅니다.

③ : \(g(p)<0\)

$$\begin{align}
&g(p)<0\\
&\Leftrightarrow f'(p)(a-p)+f(p)-b<0\\
&\Leftrightarrow b > f'(p)(a-p)+f(p)
\end{align}$$ 입니다. 이 식은 부등식 \(y<f'(p)(x-p)+f(p)\)에 \(x=a\), \(y=b\)를 대입한 것으로 생각할 수 있습니다.  즉, \(g(p)<0\)을 만족하기 위해서는 점 \((a,b)\)가 부등식 \(y>f'(p)(x-p)+f(p)\)의 해가 되어야 하므로 변곡점에서 접하는 접선보다 위쪽에 있는 영역에 점 \((a,b)\)가 존재해야 하는 것을 나타냅니다.

\(g(a)=0\), \(g(a)>0\), \(g(b)<0\)의 해석

④ : \(g(a)=0\)

\(g(a)=f(a)-b\)이므로, $$\begin{align}
&g(a)=0\\
&\Leftrightarrow f(a)-b=0\\
&\Leftrightarrow b=f(a)
\end{align}$$ 입니다. 이 식은 방정식 \(y=f(x)\)에 \(x=a\), \(y=b\)를 대입한 것으로 생각할 수 있습니다.  즉, \(g(a)=0\)을 만족하기 위해서는 점 \((a,b)\)가 방정식 \(y=f(x)\)의 해가 되어야 합니다. 따라서 점 \((a,b)\)는 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프위의 한 점이 되어야 합니다.

⑤ : \(g(a)>0\)

$$\begin{align}&g(a)>0\\&\Leftrightarrow f(a)-b>0\\&\Leftrightarrow b<f(a)\end{align}$$입니다. 이 식은 부등식 \(y<f(x)\)에 \(x=a\), \(y=b\)를 대입한 것으로 생각할 수 있습니다.  즉, \(g(a)>0\)을 만족하기 위해서는 점 \((a,b)\)가 부등식 \(y<f(x)\)의 해가 되어야 합니다. 따라서 점 \((a,b)\)는 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프 아래쪽 영역에 존재해야 합니다.

⑥ : \(g(a)<0\)

$$\begin{align}
&g(a)<0\\
&\Leftrightarrow f(a)-b<0\\
&\Leftrightarrow b>f(a)
\end{align}$$ 입니다.  이 식은 부등식 \(y>f(x)\)에 \(x=a\), \(y=b\)를 대입한 것으로 생각할 수 있습니다.  즉, \(g(a)<0\)을 만족하기 위해서는 점 \((a,b)\)가 부등식 \(y>f(x)\)의 해가 되어야 합니다. 따라서 점 \((a,b)\)는 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프 위쪽 영역에 존재해야 합니다.

근의 개수

이제 방정식 \(g(t)=0\)의 근의 개수를 세기 위한 등식과 부등식을 모두 해석하였으므로 근의 개수를 셀 수 있습니다. 근의 개수를 세기 위한 방법을 다시 한번 나열해 보겠습니다.

$$\begin{array}{c|c} \text{조건} & \text{근의 개수}\\\hline
g(p)g(a)>0 & \text{\(1\)개}\\\hline
g(p)g(a)=0 & \begin{array} {c|c} p=a & \text{\(1\)개}\\\hline p \ne a & \text{\(2\) 개}\end{array} \\\hline
g(p)g(a)<0 & \text{\(2\) 개}
\end{array}$$

\(g(p)g(a)>0\) : 접선의 개수=\(1\)개

$$\begin{align}
&g(p)g(a)>0\\
&\Leftrightarrow \text{(\(g(p)>0\)이고 \(g(a)>0\))}\\
&\text{또는 (\(g(p)<0\)이고 \(g(a)<0\))}\\
&\Leftrightarrow \text{(② 그리고 ⑤) 또는 (③ 그리고 ⑥)}\end{align}$$ 입니다. 따라서 점 \((a,b)\)는 변곡점에서 접하는 접선의 아래쪽(②)과 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프 아래쪽(⑤)에 있거나 변곡점에서 접하는 접선의 위쪽(③)과 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프 위쪽(⑥)에 있어야 합니다. 따라서 점 \((a,b)\)가 이 영역에 있을 때, 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개 입니다.

\(g(p)g(a)=0\) : 접선의 개수=\(1\)개 또는 \(2\)개

$$\begin{align}
&g(p)g(a)=0\\
&\Leftrightarrow \text{(\(g(p)=0\) 또는 \(g(a)=0\))}\\
&\Leftrightarrow \text{① 또는 ④}\end{align}$$  이 조건을 만족하려면 점 \((a,b)\)는 변곡점을 접하는 직선위의 한 점(①)이거나 삼차함수 그래프 위의 한 점(④)이 되어야 합니다.

• \(a=p\) 일 때 : ① 그리고 ④

\(a=p\)라면, \(g(a)=g(b)=0\)이 되어  ①과 ④를 모두 만족해 주어야 합니다. 즉 점\((a,b)\)는 변곡점에서 접하는 직선위의 한 점이면서 동시에 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프 위의 한 점이 되어야 합니다. 이 두 조건을 모두 만족시킬수 있는 점은 바로 삼차함수의 변곡점입니다. 따라서 점 \((a,b)\)가 삼차함수 그래프의 변곡점일 때, 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개입니다.

• \(a\ne p\) 일 때 : \(①\cup④-①\cap④\)

\(a\ne p\) 이면서 ① 또는 ④를 만족하는 점은 변곡점을 제외한 점 중에서 변곡점에서 접하는 접선위의 한 점(①)이거나, 삼차함수 \(f(x)\) 그래프위의 한 점(④)입니다.  점 \((a,b)\)가 변곡점이 아니고, 변곡점에서 접하는 직선 위에 있거나 삼차함수 \(f(x)\) 그래프 위의 한 점 일 때, 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수는 \(2\)개입니다.

\(g(p)g(a)<0\) : 접선의 개수=\(2\)개

$$\begin{align}
&g(p)g(a)<0\\
&\Leftrightarrow \text{(\(g(p)>0\)이고 \(g(a)<0\))}\\
&\text{또는 (\(g(p)<0\)이고 \(g(a)>0\))}\\
&\text{(② 그리고 ⑥) 또는 (③ 그리고 ⑤)}\end{align}$$ 입니다. 이 조건을 만족시키려면 점 \((a,b)\)는 변곡점에서 접하는 직선 아래쪽(②)에 있고 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프보다 위쪽(⑥)에 있거나, 변곡점에서 접하는 직선 위쪽(③)에 있고 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프 보다 아래쪽(⑤)에 있어야 합니다.

최종 결과

이제 앞에서 구한 \((a,b)\)의 위치와 접선의 개수를 모두 모아 표시하면 다음과 같습니다.