2020학년도 9월 모의고사 30번은 평가원이 ‘적분법’에 대한 문제를 어떻게 만들고 무엇을 강조하는지를 다시 한번 분명히 보여주는 문제입니다.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
$$f'(x^2+x+1)=\pi f(1)\sin\pi x + f(3)x+5x^2\tag{1}\label{eq1}$$ 을 만족시킬 때, \(f(7)\)의 값을 구하시오.
이 문제를 풀기 위해서는 합성함수의 적분법이 필요합니다. 함성함수의 적분법과 치환적분법은 어떠한 관계가 있을까요? 그리고 평가원의 출제의도와 의미는 무엇일까요? 그리고 이 문제는 좋은 30번 문제일까요?
이 글에서는 테이블 적분법의 원리를 설명합니다. 테이블 적분의 원리는 부분적분의 귀납적 관계를 이용한 것입니다.
\(f(x)\)를 n번 미분한 함수를 $$ f^{(n)}(x) : f^{(0)}(x),\ f^{(1)}(x),\ f^{(2)}(x),\ f^{(3)}(x),…,\ f^{(n)}(x),…$$ \(g(x)\)를 n번 부정적분(적분상수=0)한 함수를 $$g^{(-n)}(x) : g^{(0)}(x),\ g^{(-1)}(x),\ g^{(-2)}(x),\ g^{(-3)}(x),…,\ g^{(-n)}(x),…$$라 하면, $$\begin{align}\int f(x)g(x)dx&=f(x)g^{(-1)}(x)-\int f^{(1)}(x)g^{(-1)}(x)dx\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-\left(f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)-\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\right)\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)+\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\\
&=…\end{align}$$ 입니다. 혹시 이 등식의 패턴이 보이시나요? (more…)
이 글에서는 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법에 대해 설명합니다. 예를 들어, $$\int \sin x\cdot e^x dx$$의 테이블 적분은 다음과 같습니다. $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
\sin x&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
\cos x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
-\sin x&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&e^x\\
\end{array}$$$$\int \sin x\cdot e^xdx=+(\sin x\cdot e^x)-(\cos x\cdot e^x)+\bbox[yellow]{\int(-\sin x)\cdot e^x dx}$$
도표적분법 또는 표적분법이라고도 알려져 있는 테이블 적분법(tabular integration by parts)은 부분적분법을 빠르게 계산할 수 있는 방법입니다. 예를 들어 \(x^2\cdot e^x\) 의 부정적분 $$\int x^2\cdot e^x dx$$는 다음과 같은 표를 만들어 빠르게 계산할 수 있습니다.
$$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
x^2&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
2x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
2&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}{}\\
0&{}&e^x\end{array}$$
$$\int x^2e^xdx=+(x^2\cdot e^x)-(2x\cdot e^x)+(2\cdot e^x) +C$$ 테이블 적분법은 크게 2가지로 나눌 수 있는데 이 글에서는 첫번째로 다항함수×지수함수나 다항함수×삼각함수 모양을 가진 함수의 테이블 적분법을 예를 들어 설명합니다.