베이즈 정리란 사후 확률 (posterior probability) 을 사전 확률 (prior probability) 를 이용하여 표현하는 방법으로 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.
사건 B가 먼저 일어난 후 사건 A가 일어날 때, $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$$$\begin{aligned}P(B|A)&\text{ : 사후 확률, 나중에 일어나는 사건 A를 전제로 하는 조건부 확률}\\
P(B)&\text{ : 사전 확률, 사건 A가 일어나기전 사건 B가 일어날 확률}\\
P(A|B)&\text{ : 사건 B가 일어난 후에 사건 A가 일어날 확률}\end{aligned}$$
이 글에서는 베이즈 정리를 직접 유도해보면서 사후 확률과 베이즈 정리의 의미와 목적에 대해 설명하고, 이 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)
전설의 수학 문제를 찾아서, 3번째 문제는 3인의 죄수 문제입니다. 이 문제 역시 전설의 수학 문제 #1과 #2와 같은 조건부 확률 문제입니다. 서벨로니 (Serbelloni) 문제라고도 알려진 이 문제는 1966년 여름 서벨로니 별장에서 열린 이론 생물학회에서 화제가 된 문제입니다.
A, B, C 3명의 죄수가 있습니다. 3명의 죄수 중에서 곧 2명이 처형이 될 예정이고, 3인의 죄수 모두가 이 사실을 알고 있습니다. 하지만 처형이 될 죄수 2명의 이름은 간수만 알고 있습니다. 어느 날 죄수A는 간수에게 죄수B와 C 2명 중에서 적어도 1명이 처형되는 것은 확실하니 B나 C중 누가 처형이 되는지 한 사람의 이름을 말해달라고 부탁했습니다. 이 때 간수는 B가 처형이 될 것이라고 대답해 주었습니다.
이 말을 들은 죄수 A는 자신이 처형될 확률이 낮아졌다고 무척 기뻐했습니다. 대답을 듣기 전 자신이 처형될 확률은 \(\frac{2}{3}\approx 66.7\%\) 였지만 대답을 듣고 난 후 뒤에는 B와 같이 처형될 죄수는 자신이 아니면 C이므로 앞으로 자신이 처형될 확률이 \(\frac{1}{2}=50\%\) 가 되어 자신이 처형될 확률이 간수의 대답을 듣기 전보다 낮아졌다고 생각했기 때문입니다. 간수가 거짓말을 하지 않는다면 과연 죄수의 판단은 옳은 것일까요?
조건부 확률 문제에서 임의로 선택한 1명이 A를 만족할 때, B를 만족할 확률은
A를 만족하는 사람들 중 B를 만족하는 사람이 차지하는 비율
이라는 문장으로 바꾸면 조건부 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이렇게 문제를 바꾸는 것이 가능한 이유와 이 것을 이용해서 조건부 확률을 구하는 법을 소개합니다.
전설의 수학 문제를 찾아서, 2번째 문제인 상자속의 카드 문제를 설명합니다. 이 문제는 1976년 와세다 대학교의 입시 문제로 조건부 확률 문제의 마지막이라고 할 수 있는 문제입니다. 이 문제의 풀이를 통해 두 사건의 발생 시점과 조건부 확률이 어떤 의미를 가지는지 대해 살펴보겠습니다.
트럼프 카드 한 벌에서 조커를 제외한 나머지 52장의 카드 중 임의로 한 장을 뽑아 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자안에 넣어 두었다. 그리고 나머지 카드중에 3장을 임의로 뽑아 보았더니 모두 다이아몬드 카드였다. 이 때, 상자안의 카드가 다이아몬드 카드일 확률은 얼마인가? (1976, 와세다)
전설의 수학 문제를 찾아서, 첫 번째 문제는 몬티홀 문제입니다. 몬티홀 문제를 풀어보고 그 의미를 이해하면 조건부 확률의 개념과 기법을 익히는데 큰 도움이 됩니다. 이 글에서는 몬티홀 문제를 다양한 방법으로 풀어보고, 다음과 같은 것들에 대해 이야기 해보겠습니다.
1. 나중에 발생하는 사건을 전제로 사용하는 조건부 확률의 해석 (베이즈 정리)
2. 특정한이라는 단어를 사용하여 조건부 확률의 문제를 새로 정의해 주기
3. 통계를 사용하여 확률값을 계산해보기