삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 넓이의 고속 적분 -1/12 공식

3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고,  x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는

$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$

이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.

증명을 위해 필요한 개념

이 식의 증명은 다음과 같은 개념을 이용합니다.

 두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질(→두 다항식의 그래프가 접할 때

 다항함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 \(x=t\) 에서 접할 때, 두 식을 빼서 만든 방정식 $$f(x)-g(x)=0$$은 중근 \(x=t\) 를 가진다.

정적분의 위끝과 아래끝 변환(→정적분의 위끝/아래끝 변환)

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-p}^{b-p}f(x+p)dx$$

베타함수(→베타함수)

음이 아닌 정수 \(m\), \(n\)에 대해서, $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$

증명

직선 $$y=g(x)=mx+n$$ 의 그래프가 3차 함수 $$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$의 그래프와 직선 점 \((\alpha, f(\alpha)\) 에서 접하고, 점 \((\beta, f(\beta))\) 를 지난다면, $$f(x)-g(x)=a(x-\alpha)^2(x-\beta)$$ 가 됩니다. 만약 \(\beta\gt\alpha\) 라면 열린 구간 \((\alpha, \beta)\) 에서 \(a(x-\alpha)^2(x-\beta)\)의 값은 항상 0보다 크거나 0보다 작습니다. 따라서 3차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a\right|\left|(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=|a|\left|\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)dx\right|\end{align}$$이 됩니다. 여기에서 정적분 $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)dx$$의 계산은 정적분의 위끝과 아래끝 변환 또는 베타함수를 사용하면 쉽게 계산할 수 있습니다. 예를 들어 정적분의 위끝과 아래끝을 변환하여 적분하려면 먼저 정적분의 위끝과 아래끝을 각각 $$\begin{aligned}&\text{위끝 : }\beta\to \beta-\alpha\\
&\text{아래끝 : }\alpha\to \alpha-\alpha=0\end{aligned}$$ 로 바꾸어 주고, 적분하려는 식의  $$x\to x+\alpha$$로 바꾸어 주면, $$\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)dx\\
&=\int_{0}^{\beta-\alpha}x^2(x+\alpha-\beta)dx\\
&=\int_{0}^{\beta-\alpha}x^3+(\alpha-\beta)x^2dx\\
&=\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{(\beta-\alpha)}{3}x^3\right]_{0}^{\beta-\alpha}\\
&=\frac{1}{4}(\beta-\alpha)^4-\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^4\\
&=-\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}$$ 이 됩니다. 따라서 3차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는$$\begin{align}&|a|\left|\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)dx\right|\\&=|a|\left|-\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\right|\\&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{align}$$ 마찬가지로 \(\beta\lt\alpha\) 일 때 역시 3차함수와 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&|a|\int_{\beta}^{\alpha}\left|(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\&=\frac{|a|}{12}(\alpha-\beta)^4\\&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{align}$$입니다.

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ㅇㅇ
4 years ago

2차함수에선 (1/6)*(두 근의 차)^3
3차함수에선 (1/12)*(두 근의 차)^4
4차함수에선 (1/30)*(두 근의 차)^5 인데
그러면 n차함수(n>3. 3차까지는 이중접선이 없으니까)에 대해 이중접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 {1/(n+1)(n+2)}*(두 근의 차)^(n+1)이라고 일반화할 수 있나요? 아니면 그것과는 관계없는 건가요

fighting
3 years ago

진짜 신기하네요;; 참 수학이란 알면 알수록 신기한듯합니다!

대학생
3 years ago

베타함수 공식에서 \beta-x가 아니라 x-\beta 아닌가요? n이 홀수이면 정적분의 대상이 되는 영역이 x축 밑에 있어서 값이 음수가 나올 수도 있는데요? 우변은 양수니까 모순이 아닌지요?

대학생
3 years ago
Reply to  대학생

아… \alpha, \beta의 대소 관계도 중요한 것 같네요. 부연 설명 해주실 수 있나요?

대학생
3 years ago
Reply to  godingMath

정성스러운 설명 감사합니다~

이정
3 years ago

혹시 교점 3개일때는 사용불가인가요?! 두개씩 나눠서..

2 years ago
Reply to  이정

불가합니다

아기
2 years ago
Reply to  이정

삼차함수의 경우에는 교점 3개일때의 식이 따로 있습니다.