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3차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 \(x=\alpha\), \(x=\beta\) (단, \(\alpha<\beta\)) 에서 극값 \(f(\alpha)\)와 \(f(\beta)\)를 가질 때, 두 극값의 차는 다음과 같습니다.

$$
|f(\alpha)-f(\beta)|=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^3\tag{1}\label{eq0}$$

증명을 위한 준비

증명을 하기에 앞서, 증명을 위해 준비해야 하는 것들을 먼저 살펴보겠습니다.

준비 1

이 공식을 증명하는데 가장 중요한 단계는 \(f(\beta)-f(\alpha)\)을 다음과 같이 정적분으로 해석하는 것입니다.

$$\begin{align}f(\beta)-f(\alpha)&=[f(x)]^{\beta}_{\alpha}=\int_{\alpha}^{\beta}f'(x)dx\end{align}$$

준비 2

공식\(\eqref{eq0}\)을 증명하는 과정에서 이차함수의 고속적분을 사용할 수 있습니다.

$$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$$

증명

[준비1]과 [준비2]를 이용하면 공식\(\eqref{eq0}\)을 간단히 증명할 수 있습니다. 3차함수 \(f(x)\)는 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 극값을 갖는 함수이므로 $$f'(\alpha)=f'(\beta)=0$$ 입니다. 인수정리를 사용하면, \(f'(x)\)는 \((x-\alpha)\)와 \((x-\beta)\)를 인수로 가져야합니다. 3차함수  $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$의 도함수 $$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$는 최고차항의 계수가 \(3a\)인 2차함수이므로 $$\begin{align}f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\&=3a(x-\alpha)(x-\beta)\end{align}$$입니다. 따라서 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}f'(x)dx\\&=\int_{\alpha}^{\beta}(3ax^2+2bx+c)dx\\&=\int_{\alpha}^{\beta}3a(x-\alpha)(x-\beta)dx\\&=3a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx\end{align}$$ 이고, [준비2]에 의해 $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$$ 이므로 $$\begin{align}f(\beta)-f(\alpha)&=3a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx\\&=3a\times\frac{-1}{6}(\beta-\alpha)^3\\&=-\frac{a}{2}(\beta-\alpha)^3\end{align}$$ 입니다. \(\beta>\alpha\) 이므로 \(\beta-\alpha>0\)를 이용하면 두 극값의 차 $$\begin{align}|f(\alpha)-f(\beta)|&=\left|-\frac{a}{2}(\beta-\alpha)^3\right|\\&=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^3\end{align}$$가 됩니다.

공식의 활용

문제

풀이

먼저 3차 함수 \(f(x)\)의 그래프가 두 극값을 갖기 위한 \(k\) 의 범위를 구해보겠습니다. $$f'(x)=3x^2-6kx+6$$이고 3차함수 \(f(x)\)가 또한 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 (단, \(\alpha<\beta\)) 극값을 갖는다고 하면, 방정식 $$\begin{align}f'(x)=0&\Leftrightarrow 3x^2-6kx+6=0\\&\Leftrightarrow x^2-2kx+2=0\end{align}$$은 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이 방정식의 판별식의 값은 0보다 커야 합니다. $$\frac{D}{4}=(-k)^2-2>0\Leftrightarrow k^2>2\tag{2}\label{eq2}$$한편, 근과 계수의 관계에서 $$\alpha+\beta=-(-2k)=2k, \alpha\beta=2$$이고, $$\begin{align}(\beta-\alpha)^2&=(\beta+\alpha)^2-4\beta\alpha\\&=(2k)^2-4\times 2\\&=4k^2-8\end{align}$$이므로 $$(\beta-\alpha)^3=(4k^2-8)^\frac{3}{2}$$ 입니다.

문제의 조건에서 두 극값의 차는 4이고, 공식\(\eqref{eq0}\)을 이용하면 두 극값의 차 $$\begin{align}&\frac{|1|}{2}(\beta-\alpha)^3=4\\&\Leftrightarrow\frac{1}{2}(4k^2-8)^\frac{3}{2}=4\\&\Leftrightarrow(4k^2-8)^\frac{3}{2}=8\\&\Leftrightarrow 4k^2-8=4\\&\Leftrightarrow k^2=3\\&\therefore k=\pm\sqrt{3}\end{align}$$ 입니다. 그리고 \(\pm\sqrt{3}\) 모두 조건\(\eqref{eq2}\)를 만족하기 때문에 극값의 차가 4가 되기 위한 \(k\)의 값은 \(\pm\sqrt{3}\) 입니다 .