godingMath

어떤 함수와 도함수의 합이나 차가 지수함수와 곱해져 있는 식을 적분할 때, 다음 식을 이용하면 무척 편하게 부정적분을 구할 수 있는 경우가 있습니다.

$$\begin{align}
&\int (f(x)+f'(x))e^x dx=f(x)e^x+C\\
&\int (f(x)-f'(x))e^{-x} dx =-f(x)e^{-x}+C\\
\end{align}$$

증명

이 식의 증명은 무척 간단합니다. \(f(x)e^x\)와 \(f(x)e^{-x}\)의 도함수를 구해보는 것으로 각각의 식을 간단하게 증명할 수 있습니다.

\(\int (f(x)+f'(x))e^x dx=f(x)e^x+C\)

곱의 미분법을 이용하면,
$$\begin{align}
&\frac{d}{dx}f(x)e^x\\
&=(f(x))’e^x+f(x)(e^x)’\\
&=f'(x)e^x+f(x)e^x\\
\end{align}$$ 입니다.  따라서, $$\int (f(x)+f'(x))e^x dx=f(x)e^x+C$$

\(\int (f(x)-f'(x))e^{-x} dx =-f(x)e^{-x}+C\)

예

[문제1]

$$\int \left(\dfrac{x-1}{x^2}\right)e^x dx$$를 구하시오.

[풀이]

피적분 함수를 언뜻 보면, 분수함수와 지수함수의 곱으로 이루어져 있기 때문에 부정적분의 계산이 무척 복잡할 것 같습니다. 하지만 $$\frac{x-1}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$$이고, $$\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2}$$이라는 사실을 이용하면, $$\begin{align}
&\left(\frac{x-1}{x^2}\right)e^x\\
&\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)e^x\\
&=\left(\frac{1}{x}+\color{red}{\left(\frac{1}{x}\right)’}\right)e^x\\
\end{align}$$ 입니다. 따라서  $$\int \left(\dfrac{x-1}{x^2}\right)e^x dx=\frac{1}{x}e^x+C$$

[문제2]

$$\int (\sin x -\cos x)e^{-x} dx$$를 구하시오.

[풀이]

\(\cos x=(\sin x)’\)이므로,  $$\begin{align}
&(\sin x – \cos x)e^{-x}\\
&=(\sin x – \color{red}{(\sin x)’})e^{-x}\\
\end{align}$$ 입니다. 따라서 $$\int (\sin x -\cos x)e^{-x} dx=(-\sin x)e^{-x}+C$$