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전설의 수학 문제를 찾아서, 6번째 문제는 원뿔과 경사로 문제입니다. 이 문제는 공간도형을 머릿속에서 생각하려했던 사람들의 머리를 쥐어짜냈던, 악명이 높은 문제입니다.

다음 그림과 같은 직원뿔 모양의 산이 있다. \(\mathrm{A}\)지점을 출발하여 산을 한바퀴 돌아 \(\mathrm{B}\)지점으로 가는 관광 열차의 궤도를 최단거리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오르막 길이지만 나중에는 내리막길이 된다. 이 내리막길의 길이는?

전설이라고 부를 수 있는 수학 문제들은 어떤 것일까요? 문제 풀이의 난이도와 관계 없이, 수학 문제를 푸는 재미가 있는 문제, 학문적인 의미를 가지고 있는 문제, 문제 풀이의 원리가 여러 다른 문제에서도 두고 두고 사용되는 문제입니다. “전설의 수학 문제를 찾아서”는 전설이라고 부를 수 있는 수학 문제들을 찾아 풀어보고, 무엇을 배울 수 있는지 그 배경과 의미를 설명하는 연재글입니다.

이 문제의 의의

일반적으로 문제에 붙어있는 조건의 개수가 많을 수록 문제는 어려워집니다. 특히 공간도형의 문제는 더욱 그렇습니다. 문제에서 주어진 많은 조건 하나 하나를 머릿속에서 공간을 그려가며 공간 도형을 파악하는 것은 쉽지 않은 일입니다.

하지만 이 문제는 아주 단순한 조건을 가지고 있습니다. (1) 최단 거리를 갖는 경로를 찾고, (2) 그 경로안에서 오르막 길과 내리막 길을 찾는 것입니다. 풀이도 아주 단순합니다. 하지만 이 문제는 어려운 문제입니다. 조건은 단순하지만, 이 문제에서 주어진 조건을 머릿속에서 파악하는 것은 여전히 어려운 일입니다.

먼저, 최단 거리를 파악하는 것은 그리 어려운 일이 아닙니다. 문제에서 제시한 원뿔의 전개도를 그립니다. 그리고 부채꼴의 한 모선의 끝을 \(\mathrm{A}\)로, 다른 모선의 끝에서 10(unit)만큼 떨어진 점을 점 \(\mathrm{B}\)라고 하고, 두 점을 양끝으로 하는 선분을 그어주면 선분 \(\mathrm{AB}\)가 바로 문제에서 요구하는 최단 거리를 갖는 경로가 됩니다.

하지만 이 전개도를 다시 공간도형으로 만들었을 때, 문제에서 언급한 것처럼 정말로 이 경로가 오르막 길과 내리막 길을 갖는지, 그렇다면 오르막길과 내리막길의 경계는 과연 어디인지를 머릿속으로만 상상하는 하는 것은 쉬운일이 아닙니다.

만약 우리가 3D 애니메이션에서처럼 카메라 각도를 자유롭게 바꾸어 가며 화면을 볼 수 있다면 공간을 파악하는 것이 많이 쉬워질 것입니다. 하지만 실제 문제를 풀 때에는 그런 도구 없이 공간도형의 실제 모습이 우리 머릿속에서  그려지지 않아도 공간을 파악할 수 있는 전략이 필요합니다. 그렇다면 공간을 파악하기 위해 어떤 전략을 사용해야 할까요?

이 문제는 단순하지만 공간을 파악하는 가장 기본적인 전략과 그 것을 사용하는 법을 우리에게 알려주려 하는 문제입니다. 이 것이 바로 이 문제가 갖는 의의입니다.

공간을 파악한다는 것

앞서 이야기한 바와 같이 공간을 파악한다는 것은 3D 애니메이션에서 자유롭게 카메라 각도를 바꾸어 가며 보는 것과는 다릅니다. 공간도형을 파악하기 위한 가장 기본적인 전략은 놀랍게도 이미 초등학교 교과서에서 설명하고 있습니다. 그것은 바로 투상도입니다.

초등학교 교과서를 보면, 입체도형을 파악하기 위한 방법으로 투상도를 이용하고 있습니다. 위에서 본 그림(평면도)와  앞에서 본 그림(정면도) 그리고 오른쪽 옆에서본 그림(우측면도)을 평면도형으로 그리고 평면도형에서 얻은 특징들을 조합하여 공간도형의 상태를 파악하는 것이죠.

여러 각도에서 본 평면도형의 특징을 조합하는 것, 이 것이 바로 공간도형 문제를 파악하기 위한 가장 기본적인 전략입니다.

공간 도형 문제에 따라 평면도, 정면도, 측면도 뿐 아니라 뒤에서 본 그림(배면도), 밑에서 본 그림(저면도)과 같은 투상도의 다른 그림이 필요할 떄가 있거나 아니면 전혀 다른 각도에서 본 그림이 필요할 때가 있습니다. 그렇다면 이 문제에서 오르막 길과 내리막길을 판단하기 위해서는 어떤 각도에서 본 그림이 필요할까요?

투상도와 전개도

정면도

먼저 정면도를 살펴보겠습니다. 정면에서 바라본 그림을 보면 문제에서 언급한 것처럼 점\(\mathrm{A}\)에서 출발할 때에는 오르막 길이고, 점\(\mathrm{B}\)에 도착할때에는 내리막 길인 것처럼 보입니다. 이 사실을 조금 더 확인해 보기 위해 옆에서 본 좌우측면도를 확인해 보겠습니다.

좌우 측면도

먼저 좌우 측면도를 보면 점\(\mathrm{A}\)에서 출발할 때에는 오르막 길이고, 점\(\mathrm{B}\)를 향해서는 내리막 길이라는 것이 정면도에서 보다 더 분명히 알 수 있습니다. 이 사실을 좀 더 분명히 하기 위해 꼭지점에서 부터 경로위의 있는 점까지의 거리의 변화를 확인해보겠습니다.

좌측면도에서 원뿔의 꼭짓점과 경로위의 점을 양끝으로 하는 선분을 만들고, 이 선분의 길이를 생각해보겠습니다. 경로위의 점의 위치가 점 \(\mathrm{B}\)에 가까워 질수록(①→②→③) 선분의 길이가 점점 길어지는 것을 확인할 수 있습니다. 이제 우측면도에서도 이와 같은 같은 사실을 확인해보겠습니다.

우측면도에서도 역시 경로위의 점의 위치가 점 \(\mathrm{A}\)에서 멀어질 수록 (①→②→③→④) 선분의 길이가 길어집니다.

마지막으로 평면도에서 의미있는 정보를 더 찾을 수 있는지 확인해 보겠습니다.

평면도

원뿔을 위에서 본 평면도입니다. 점 \(\mathrm{A}\)에서 출발해 원뿔을 한바퀴 돌아 점 \(\mathrm{B}\)에 도착하는 경로가 원뿔의 꼭짓점을 중심으로 하는 원위에 그려져 있는 것을  확인할 수 있습니다. 평면도에서도 굉장히 중요한 정보를 확인할 수 있습니다. 원뿔위의 표시된 경로는 나선 모양으로, 원의 중심에서부터 경로까지의 거리가 계속해서 변하고 있습니다!

모든 정보를 종합하기

이제 지금까지 여러 각도에서 본 그림에서 얻은 정보를 종합해 보겠습니다. 정면도와 측면도 평면도에서 얻은 가장 중요한 정보는 원뿔의 꼭짓점에서부터 최단 경로까지의 거리 변한다는 것을 어떻게 해석할 수 있을까요?

오르막 길=꼭짓점에 점점 가까워 지는 것

우리가 원뿔 모양을 가진 산의 오르막길을 따라 올라가고 있다는 것을 어떻게 알 수 있을까요? 가장 확실한 방법은 산의 정상(원뿔의 꼭짓점)에서부터 현재 위치까지를 연결한 선분의 거리가 점점 짧아지고 있는지를 확인하는 것입니다. 전개도를 그려 이것을 더 자세히 확인해보겠습니다. 원뿔의 모선의 길이가 60, 밑면의 반지름의 길이 20이므로 중심각 \(\theta\)는 $$60\theta=2\pi\cdot 20\Rightarrow \theta=\frac{2}{3}\pi$$입니다.

점 \(\mathrm{A}\)와 점 \(\mathrm{B}\)를 선분으로 연결하면 이 선분이  바로 문제에서 언급한 최단거리입니다. 삼각형\(\mathrm{OAB}\)의 꼭짓점 \(\mathrm{O}\)에서 선분 점 \(\mathrm{AB}\)에 내린 수선의 발을 점 \(\mathrm{H}\) 라 하겠습니다. 점 \(\mathrm{O}\)와 선분 \(\mathrm{AH}\)위의 한 점을 연결한 선분의 길이는 선분 \(\mathrm{AH}\)위의 점이 \(\mathrm{H}\)에 가까워 질 수록 짧아집니다.

따라서 선분 \(\mathrm{AH}\)의 길이가 오르막 길이 됩니다.

내리막 길=꼭짓점에서 점점 멀어지는 것

마찬가지로 원뿔의 꼭짓점에서부터 현재 위치까지를 연결한 선분의 길이가 점점 길어지고 있다면 내리막길을 따라 내려가고 있는 것입니다.

내리막 길의 길이

이제 필요한 모든 정보를 파악하였으므로 내리막 길의 길이를 구해보겠습니다. 문제에서 요구하는 내리막 길의 길이는 \(\angle\mathrm{O}=\frac{2}{3}\pi\), 선분 \(\mathrm{OA}=60\) 선분 \(\mathrm{OB}=50\)인 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)에서 점 \(\mathrm{O}\)에서 선분 \(\mathrm{AB}\)에 내린 수선을 발을 \(\mathrm{H}\)라 할때, \(\mathrm{HB}\)의 길이와 같습니다.

먼저 제 2 코사인 법칙을 사용하여 선분 \(\mathrm{AB}\) 의 길이를 구하면, $$\begin{align}\mathrm{AB}^2&=\mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2-2\cdot\mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}\cdot\cos(\frac{2}{3}\pi)\\
&=60^2+50^2-2\cdot 60\cdot 50\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\\
&=9100\end{align}$$$$\therefore \mathrm{AB}=10\sqrt{91}$$ 이제 \(\mathrm{HB}\)의 길이를 구하는 방법은 여러가지가 있습니다. 여기서는 제 2 \(\cos\) 법칙을 다시 한번 이용하여 \(\cos\mathrm{B}\)를 구한 후, 직각삼각형 \(\mathrm{OHB}\)에서 빗변 \(\mathrm{OB}\)와 \(\cos\mathrm{B}\)를 이용하여 \(\mathrm{HB}\)의 길이를 구해보겠습니다. 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)에서 제 2 \(\cos\)법칙을 사용하면 $$\begin{align}\cos{\mathrm{B}}&=\frac{\mathrm{BO}^2+\mathrm{BA}^2-\mathrm{OA}^2}{2\cdot\mathrm{BO}\cdot\mathrm{BA}}\\
&=\frac{50^2+(10\sqrt{91})^2-60^2}{2\cdot 50\cdot 10\sqrt{91}}\\
&=\frac{2500+9100-3600}{80\sqrt{91}}\\
&=\frac{8000}{1000\sqrt{91}}\\
&=\frac{8}{\sqrt{91}}\end{align}$$ 이제 직각삼각형 \(\mathrm{OHB}\)에서 $$\begin{align}\mathrm{HB}&=\mathrm{OB}\cdot\cos{\mathrm{B}}\\&=50\cdot\frac{8}{\sqrt{91}}\\&=\frac{400}{\sqrt{91}}\end{align}$$

정리

이 문제를 풀어보면서 배울 수 있었던 것 들을 정리해보겠습니다.

1. 공간 도형의 입체적인 모습이 잘 그려지지 않아도 좋다. 공간 도형의 모습은 적당한 시점을 정하여 각 시점에서 본 모습을 평면도형으로 나타내고, 각 평면도형에서 얻어진 정보를 종합하여 공간도형을 파악한다.
2. 원뿔의 옆면의 한 점으로부터 원뿔의 꼭짓점까지의 거리가 어떻게 변하는지를 살펴보면 오르막길인지 내리막길인지 알 수 있다.