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$\sin x,\ \cos x,\ \tan x$ 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\ \arccos x&=\cos^{-1}x,\\ \arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$ 라고 정의할 때,

$$\begin{align} \frac{d}{dx}\sin^{-1}x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\cos^{-1}x&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\tan^{-1}x&=\frac{1}{1+x^2} \end{align}$$

역함수의 도함수를 구하는 원리

함수 $y=f(x)$의 역함수 $y=g(x)$의 도함수는 크게 두가지 방법으로 구할 수 있습니다.

$f(g(x))=x$

역함수의 정의에 의해 두 함수를 합성한 $f(g(x))=x$ 가 됩니다. 이 식의 양변을 미분하면 $$f'(g(x))g'(x)=1$$ 이므로 $$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$

$y=g(x)\iff f(y)=x$

$f(y)=x$ 의 양변을 미분하면, $$f'(y)\frac{dy}{dx}=1$$ 이므로 $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}$$ 가 됩니다. $\frac{dy}{dx}=g'(x),\ y=g(x)$ 이므로 이것을 대입하면 $$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$ 가 됩니다.

이 글에서는 두번째 방법을 사용하여 역삼각함수의 도함수를 구해보겠습니다.

$y=\arcsin x=\sin^{-1}x$ 의 도함수

$$y=\sin^{-1} x\iff \sin y=x,\ -1\leq x\leq 1$$ 입니다. 이 식의 양변을 $x$에 대해 미분하면, $$\cos y \frac{dy}{dx}=1$$ $$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$y=\arccos x=\cos^{-1}x$ 의 도함수

마찬가지로,  $$y=\cos^{-1} x\iff \cos y=x\ -1\leq x\leq 1$$ 입니다. 이 식의 양변을 $x$에 대해 미분하면, $$-\sin y \frac{dy}{dx}=1$$ $$\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$y=\arctan x=\tan^{-1}x$ 의 도함수

$$y=\tan^{-1} x\iff \tan y=x,\ x\in \Bbb{R}$$ 입니다. 이 식의 양변을 $x$에 대해 미분하면, $$\sec^2 y \frac{dy}{dx}=1$$ $$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sec^2 y}=\frac{1}{1+\tan^2 y}=\frac{1}{1+x^2}$$