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이 글에서는 미적분에서 가장 중요한 부등식 중 하나를 소개합니다. 이 부등식은 미적분의 여러 부등식 문제에서 약방의 감초처럼 사용되는 아주 중요한 부등식으로, 이 부등식의 특징은 입시문제에서 자주 사용하는 중요한 소재 중 하나입니다.

$$\ln x \leq x-1\tag{1}\label{eq1}$$

이 글에서는 이 부등식이 성립하는 이유를 알아보고 이 부등식의 특징과 활용방법 그리고 이 부등식을 이용한 입시 문제를 살펴보겠습니다.

부등식의 중요성

이 부등식이 (제 마음속) 올타임 넘버원인 이유는 이 부등식의 특징때문입니다. 이 부등식을 이용하면 또 다른 의미를 갖는 부등식을 만들어 낼 수 있습니다. 이렇게 새롭게 만들어진 부등식은 급수의 발산부터 정규 분포 곡선의 적분까지 아주 다양한 곳에서 사용할 수 있기 때문에 입시 문제에서 중요한 소재로 사용되고 있습니다.

부등식이 성립하는 이유 I 

이 부등식이 성립하는 이유를 직관적으로 알 수 있는 가장 좋은 방법은 그래프를 그려서 직접 확인해 보는 것입니다. \(y=\ln x\)의 도함수 \(y’=\dfrac{1}{x}\)입니다. 따라서 \(y=\ln x\)위의 점 \((1,0)\)에서 \(y=\ln x\)에  접하는 접선의 방정식은 $$\begin{align}
y&=\frac{1}{1}(x-1)+0\\
&=x-1\\
\end{align}$$ 입니다.

두 그래프를 비교해보면 \(y=\ln x\)의 그래프가 항상 \(y=\ln x\)아래에 있다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $$\ln x \leq x-1$$ 이 성립합니다. (등호는 \(x=1\)일 때 성립합니다.)

부등식이 성립하는 이유 II

미분을 활용하여 부등식이 성립하는 것을 확인할 수도 있습니다. 부등식의 우변의 항을 모두 좌변으로 이항하면 $$\ln x – x +1\leq 0$$을 얻습니다. $$g(x)=\ln x – x +1$$이라 두겠습니다. \(g(x)\)의 값을 정의하기 위해서는 \(\ln x\)의 값을 정의할 수 있어야 하므로  \(x\)의 값의 범위는 \(x\gt 0\)이어야 합니다. \(g(x)\)의 도함수를 구하면 $$\begin{align}
g'(x)&=\frac{1}{x}-1\\
&=\frac{1-x}{x}\\
\end{align}$$입니다. 이제 증감표를 그려 확인해보면 $$
\begin{array}{c | c| c | c  }
x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline
f'(x) & & + & 0 & -\\ \hline
f(x) & &\nearrow & 극대(0) & \searrow 
\end{array}$$ 이 되어 \(g(x)\)는 \(x=1\)에서 극댓값 \(0\)을 갖는 것을 알 수 있습니다. 따라서 \(x>0\)에서 \(g(x)\leq 0\)이므로 부등식 \(\ln x \leq x – 1\)은 성립합니다. 

활용

1. 부등식

부등식 \(\eqref{eq1}\) \(\ln x \leq x – 1\)의 가장 큰 특징 중 하나는 이 부등식을 사용하여 여러 가지 부등식을 만들어 낼 수 있다는 점입니다. 예를 들어, 부등식 \(\eqref{eq1}\)을 이용하면 다음 부등식을 만들어 낼 수 있습니다. (이 부등식 역시 아주 중요한 부등식입니다.!)

$$\frac{1}{x+1}\leq \ln (x+1)-\ln x \leq \frac{1}{x}\tag{2}\label{eq2}$$

  먼저 부등식 \(\ln x \leq x – 1\) 에 $$x\rightarrow \frac{x+1}{x}$$를 대입하면, $$\begin{align}
&\ln\left(\frac{x+1}{x}\right) \lt \frac{x+1}{x} -1 \\
&\Leftrightarrow \ln(x+1)-\ln x \lt \frac{1}{x} \\
\tag{3}\label{eq3} \end{align}$$이 성립합니다. (부등식에서 등호가 빠져있는 것을 주목해 주세요.  \(x>0\)에서 \(\dfrac{x+1}{x}\gt 1\)이므로 등호가 성립할 조건을 만족하지 못하기 때문입니다.) 같은 방법으로 부등식 \(\eqref{eq1}\)에 $$x\rightarrow \frac{x}{x+1}$$을 대입하면 $$\begin{align}
&\ln\left(\frac{x}{x+1}\right) \lt \frac{x}{x+1} -1 \\
&\Leftrightarrow \ln(x)-\ln (x+1) \lt -\frac{1}{x+1} \\
&\Leftrightarrow \ln(x+1)-\ln (x) \gt \frac{1}{x+1} \\\tag{4}\label{eq4}
\end{align}$$를 얻을 수 있습니다. 따라서 \(\eqref{eq3}\)와 \(\eqref{eq4}\)에 의해 $$\frac{1}{x+1}\leq \ln (x+1)-\ln x \leq \frac{1}{x}$$이 성립합니다.

2. 조화급수

한편, 부등식 \(\eqref{eq3}\) $$\ln(x+1)-\ln x \lt \frac{1}{x} $$을 이용하면 조화급수 $$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$$가 발산하는 것을 쉽게 보일 수 있습니다. 부등식 \(\eqref{eq3}\)에 \(x=1,2,3,\cdots, n\)을 대입하면 $$\require{cancel}\begin{align}
&\bcancel{\ln 2}-\ln 1 \lt 1\\
&\bcancel{\ln 3}-\bcancel{\ln 2} \lt \frac{1}{2}\\
&\bcancel{\ln 4}-\bcancel{\ln 3}  \lt \frac{1}{3}\\
&\vdots\\
&\bcancel{\ln n} – \bcancel{\ln (n-1)} \lt \frac{1}{n-1}\\
&\ln (n+1)-\bcancel{\ln n} \lt \frac{1}{n}\\
\end{align}$$ 입니다. 이제 모든 식을 더 하면 $$\ln (n+1)<1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\tag{5}\label{5}$$을 얻을 수 있습니다. \(n\to \infty\)일 때, \(\ln n\)역시 양의 무한대로 발산하므로 이 부등식의 우변도 양의 무한대로 발산해야 합니다. 따라서  $$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$$는 양의 무한대로 발산합니다.

3. \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x^n}=0,\text{(\(n\)은 3이상의 자연수)}\)

(댓글에서 소개해 주신 활용 방법입니다. 감사합니다.) \(n\)이 \(3\)이상의 자연수라고 하면, \(x>1\) 일 때, $$ \frac{\ln x}{x^n}\gt 0 $$입니다. 그리고, \(x^2\)을 부등식\(\eqref{eq1}\)에 대입하면 다음을 얻습니다. $$\ln x^2\leq x^2-1$$ 이 부등식은 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다. $$\begin{align}
&\ln x^2 \lt x^2-1\\
&\Leftrightarrow 2\ln x \lt x^2-1\\
&\Leftrightarrow \frac{\ln x}{x^n} \lt \frac{x^2-1}{2x^n}
\end{align}$$ 입니다. 따라서 \(x>1\)이고, \(n\)이 \(3\)이상의 자연수 일 때, $$0< \frac{\ln x}{x^n} < \frac{x^2-1}{2x^n}$$ 이고, $$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2-1}{2x^n}=0$$ 이므로 샌드위치 정리에 의해 $$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x^n}=0$$입니다.

관련문제

한양대학교 2017 자연계 논술 자연계열 (오후2) 1-1

양의 실수 \(t\)에 대하여 부등식 $$\frac{1}{t+2}+\ln(t+1)-\ln(t+2)<0$$ 이 성립함을 보이시오. 

풀이

$$\begin{align}
&\frac{1}{t+2}+\ln(t+1)-\ln(t+2)<0\\
&\Leftrightarrow \frac{1}{t+2}<\ln(t+2)-\ln(t+1)\\
\end{align}$$ 입니다. 따라서 문제에서 제시한 부등식 대신, $$\frac{1}{t+2}<\ln(t+2)-\ln(t+1)$$가 성립하는 것을 보여도 됩니다. 그런데 이 부등식의 우변 \(\ln(t+2)-\ln(t+1)\) 을 보면 부등식 \(\eqref{eq2}\)의 중변 \(\ln(x+1)-\ln x\)와 아주 닮아 있다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 부등식 \(\eqref{eq2}\)에 적당한 값을 넣어주면 문제가 요구하는 것을 찾아 낼 수 있을 것 같습니다.

\(t\)는 양수라고 하였으므로 \(t+1>0\)입니다. 따라서 부등식 \(\eqref{eq2}\) $$\frac{1}{x+1} < \ln(x+1)-\ln (x)$$에 \(x\Rightarrow t+1\)을 대입하면, $$\frac{1}{(t+1)+1} < \ln((t+1)+1)-\ln (t+1)$$ 이 되어 문제에서 요구한 $$\frac{1}{t+2} < \ln(t+2)-\ln (t+1)$$ 이 성립하는 것을 알 수 있습니다.