\(\alpha\)가 정수이고, \(n\)이 자연수 일때,
$$\int_{\alpha}^{\alpha+n}f(x)dx\to\sum_{k=1}^{n}a_k$$$$a_k=\int_{\alpha+k-1}^{\alpha+k}f(x)dx$$
이 글에서는 이 테크닉의 원리와 활용에 대해 이야기 합니다.Level: 초급
소소하지만 확실한 테크닉 – (tanx-sinx)의 근사화 (2010년 6월 모의고사 가형 27번)
대부분의 삼각함수의 극한 문제는 삼각함수를 다음과 같이 근사하여 풀 수 있습니다. $$\sin x\approx x,\ \tan x\approx x,\ 1-\cos x\approx\frac{x^2}{2}$$ 하지만 이 근사만으로는 풀 수 없는 문제가 종종 출제 되곤 합니다. 2010년 6월 모의고사 가형 27번이 바로 그러한 경우입니다.
[2010학년도 6월 가형 27번]
$$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}$$의 값은?
이 문제를 기존의 근사법으로 풀 수 없는 이유는 무엇일까요? 그리고 이 문제를 풀기 위해서 \(\tan x\) 와 \(\sin x\)를 어떻게 근사하면 좋을까요? (more…)
2변수 대칭식의 고속계산
$$f(x,y)=f(y,x)$$ 와 같이 두 변수 \(x\) 와 \(y\)를 서로 교환해도 식의 값이 변하지 않는 식을 대칭식이라고 합니다. \(x^n+y^n\)은 대표적인 2변수 대칭식 중 하나로, 그 값을 구하는 문제가 자주 출제 됩니다. 이 식의 값은 다음과 같은 귀납적 관계(점화식)을 이용하면 그 값을 고속으로 계산할 수 있습니다.
$$x^{n+2}+y^{n+2}=(x+y)(x^{n+1}+y^{n+1})-xy(x^n+y^n), n\ge 1\qquad(1)$$
이 글에서는 이 점화식을 사용한 \(x^n+y^n\)의 계산법과 그 응용을 설명합니다. (more…)
역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분
\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,
$$\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin^{-1}x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\cos^{-1}x&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\tan^{-1}x&=\frac{1}{1+x^2}
\end{align}$$
사차 함수와 이중접선으로 둘러싸인 부분의 넓이의 고속적분 – 1/30 공식
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$
이 글에서는 이 식의 증명을 소개합니다. (more…)
이차함수와 두 접선, 접점을 연결한 직선으로 둘러싸인 넓이의 비율
이차함수의 그래프와 두 접선으로 둘러싸인 넓이를 \(\mathcal{A}\), 두 접점을 연결한 직선과 이차함수로 둘러싸인 넓이를 \(\mathcal{B}\) 라 하면,$$A:B=1:2$$ 이 비율에 대한 간단한 증명을 소개합니다.
이차함수와 두 접선으로 둘러싸인 넓이의 고속적분 – 1/12 공식
이차함수와 두 접선으로 둘러 싸인 넓이는 $$\mathcal{A}=\frac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 이 공식에 대한 증명을 설명합니다.