전설의 수학 문제를 찾아서 - 원탁위의 카드 (2) (2016, 서울대)

전설의 수학 문제를 찾아서 8번째 문제 2016학년도 서울대 구술 고사 문제인 원탁위의 카드 두번째 글입니다. 일대일 대응의 개념을 사용하여 만들어진 멋진 문제입니다. 이 문제에서 우리가 배울 수 있는 일대일 대응의 성질은 무엇일까요?

전설이라고 부를 수 있는 수학 문제들은 어떤 것일까요? 문제 풀이의 난이도와 관계 없이, 수학 문제를 푸는 재미가 있는 문제, 학문적인 의미를 가지고 있는 문제, 문제 풀이의 원리가 여러 다른 문제에서도 두고 두고 사용되는 문제입니다. “전설의 수학 문제를 찾아서”는 전설이라고 부를 수 있는 수학 문제들을 찾아 풀어보고, 무엇을 배울 수 있는지 그 배경과 의미를 설명하는 연재글입니다.

전설의 수학 문제를 찾아서 – 원탁위의 카드 (1) (2016, 서울대)

[문제2]

학생들이 문제 [1]의 조건을 만족하도록 원소들을 썼다고 하자. 각 $x\in S$에 대하여 $A_x$와 $B_x$를 다음과 같이 정의하자.
(1) 자신의 오른쪽에 있는 학생은 $ix$를, 자신은 $x$를 쓴 학생의 수는 $A_x$이다.
(2) 자신의 왼쪽에 있는 학생은 $ix$를, 자신은 $x$를 쓴 학생의 수는 $B_x$이다. 이 때, 다음 관계식이 성립함을 보이시오. $$\begin{align}
&A_1-B_1=A_{-1}-B_{-1}\\
&=A_{i}-B_{i}=A_{-i}-B_{-i}\\
\end{align}$$

앞글에서, 이 문제의 가장 중요한 규칙성은 ‘실수’와 ‘허수’ 모둠이 교대로 반복된다는 것이었습니다. 문제를 풀기 전에 다음과 같은 질문을 생각해보겠습니다.

실수모둠→허수모둠 으로 바뀌는 횟수와 허수모둠→실수모둠으로 바뀌는 횟수는 같은가?

문제를 풀기위한 몇가지 준비

[문제1]과 같이 예를 들어 문제의 규칙성을 파악하기 위해 학생의 수는 $5$명 ($n=5$)로 하고, 학생1을 기준으로 반시계 방향으로 학생2, 학생3, 학생4, 학생5를 배치해 두겠습니다. $$\require{AMScd}
\begin{CD}
\text{학생1} @. @<<< \text{학생5}\\
@VVV @. @AAA\\
\text{학생2} @>>> \text{학생3} @>>> \text{학생4}
\end{CD}$$ 이제 학생들의 순서가 고정되어 있기 때문에 원탁위에 앉아 있는 학생들의 배열을 $$학생1-학생2-학생3-학생4-학생5-(학생1)$$ 과 같이 학생1을 시작으로 하는 직선 모양의 배열로 바꾸어 주겠습니다. (앞글에서 설명한 바와 같이) 학생1이 맨 끝에도 있는 이유는 학생5가 학생1과 이웃하고 있는 원형 배열의 특징을 유지하기 위해서 입니다. 이렇게 원모양의 배열을 직선 형태의 배열로 바꾸면 사용할 수 있는 수학 도구(순열과 같은)들이 늘어나기 때문에 문제를 푸는데 많은 도움이 됩니다.

첫번째 모둠과 마지막 모둠은 같은 모둠이 되어야 한다.

학생1이 실수를 선택한다면 학생1이 포함된 첫번째 모둠은 실수모둠이 되어야 합니다. 그리고 마지막 모둠 역시 학생1을 포함하고 있기 때문에 첫번째 모둠과 마찬가지로 마지막 모둠도 실수모둠이 되어야 합니다.

만약 모둠 전환이 한번도 없다면, 즉 모둠이 전환이 $0$번이라면 모든 학생이 하나의 모둠으로 묶여야 하기 때문에 전체 모둠의 개수는 $1$개가 되어야 하므로 처음 모둠과 마지막 모둠은 같은 모둠이 되어야 합니다.$$\begin{array}{c c c c c c}
\text{학생1}&\text{학생2}&\text{학생3}&\text{학생4}&\text{학생5}&\text{(학생1)} \\\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & (1)\\
\end{array}$$ 만약 첫번째 모둠과 마지막 모둠사이에 모둠 전환이 $1$번이상 있을 때에는 전체 모둠 전환의 횟수가 어떻게 되어야 할까요? 첫번째 모둠이 실수 모둠이었기 때문에 첫 번째 모둠에서 모둠 전환이 일어나면 실수모둠→허수모둠으로 바뀌게 됩니다. 따라서 두번째 모둠 전환이 일어나면 허수모둠→실수모둠으로 바뀌게 됩니다. 이와 같은 과정을 반복하면 홀수번째 전환은 실수모둠→허수모둠으로의 전환을 나타내고, 짝수번째 모둠은 실수모둠→허수모둠으로의 전환을 나타내게 됩니다. 따라서 마지막으로 일어나는 모둠 전환이 홀수번째 전환이라면 마지막 모둠은 허수 모둠이 되어야 합니다. 그런데, 첫번째 모둠과 마지막 모둠은 실수 모둠이 되어야 하므로 마지막으로 일어나는 전환은 홀수번째 전환이 될 수 없습니다. 그러므로 첫번째 모둠이 실수 모둠이라면, 모든 모둠의 전환 횟수는 짝수 ($0$번 포함)가 되어야 합니다. 예를 들어 다음과 같은 예에서는 $$\begin{array}{c c c c c c}
\text{학생1}&\text{학생2}&\text{학생3}&\text{학생4}&\text{학생5}&\text{(학생1)} \\\hline
1 & 1 & i & i & 1 & (1)\\
\end{array}$$ 에서는 학생1과 학생2가 실수($1)$모둠이고, 학생3과 학생4가 허수($i$)모둠, 학생5와 학생1이 실수($1$)모둠에 속하고 있습니다. 즉, $$\fbox{실수(1)}\xrightarrow{전환_1,\ 실수\to허수}\fbox{허수(i)}\xrightarrow{전환_2,\ 허수\to실수}\fbox{실수(1)}$$이고, 전체 전환의 횟수는 $2$번으로 짝수가 되고 첫번째 모둠과 마지막 모둠의 종류가 실수($1$)로 같은 모둠의 대칭성도 확인할 수 있습니다.

이것은 첫번째 모둠이 허수모둠인 경우에도 마찬가지 입니다. 첫번째 허수모둠에서 시작해서 몇번의 모둠 전환을 거쳐 다시 허수모둠으로 끝나기 위해서는 모든 모둠 전환 횟수가 짝수가 되어야 합니다.

따라서 첫번째 모둠이 실수 모둠일 때, 홀수번째 전환은 모두 실수모둠→허수모둠으로의 전환이 되고, 짝수번째 전환은 허수모둠→실수모둠으로의 전환이 됩니다. 예를 들면, 만약 첫번째 모둠이 실수(1)모둠에서 허수모둠으로의 전환이라면 마지막 모둠은 허수모둠에서 실수(1)모둠으로의 전환이 되어야 합니다.

반대로 첫번째 모둠이 허수 모둠이라면, 홀수번째 전환은 허수모둠→실수모둠으로의 전환이 되고, 짝수번째 전환은 실수모둠→허수모둠으로의 전환이 됩니다. 마찬가지로 예를 들면, 만약 첫번째 모둠이 허수(i)모둠→실수모둠으로의 전환이라면 마지막 모둠은 실수모둠→허수(1)모둠으로의 전환이 되어야 합니다.

따라서 전체 전환의 개수는 짝수이므로 전체 전환의 개수를 $2m$, ($m$은 자연수)라고 나타내면 홀수번째의 전환의 개수는 $m$이고, 짝수번째 전환의 개수도 $m$이므로 다음과 같은 사실이 성립합니다.

1. 모든 전환의 개수는 짝수이다.

2. 첫번째 전환과 마지막 전환은 대칭이다.

3. 실수모둠→허수모둠의 전환횟수과 허수모둠→실수모둠의 전환횟수는 서로 같다.

일대일 대응의 마법

앞서 실수모둠→허수모둠의 전환횟수와 허수모둠→실수모둠의 전환횟수를 직접세어보지 않고도 모든 전환의 횟수가 짝수인 것과 모든 전환을 홀수번째 횟수와 짝수번째 횟수로 나누는 것만으로도 실허 전환의 횟수와 허실 전환의 횟수가 같다는 것을 간단히 알 수 있었지만 그 배경을 살펴보면 아주 흥미로운 사실이 자리잡고 있습니다. 어떻게 직접 세어보지 않고도 $2m$개의 전환 중에서 홀수번째 전환과 짝수번째 전환의 횟수가 각각 $m$번으로 같다는 것을 알 수 있었을까요? 이것은 바로 $1$부터 $2m$까지의 홀수와 짝수가 일대일대응 관계를 가지고 있기 때문입니다.다.

수의 개념을 아직 배우지 못해 자신이 갖고 있는 사탕의 개수가 몇개인지 숫자로 표현을 할 수 없는 아이들도, 자신의 가지고 있는 사탕의 개수를 어린 아이들 서로 가지고 있는 사탕의 개수를 비교할 수 있는 방법을 알고 있습니다. 바로 “너 하나 나 하나”, “너 하나 나하나” 라고 말을 하며 각자 가지고 잇는 사탕을 하나씩 내려 놓는 것입니다. 이 과정을 계속 반복하며 어느 한쪽의 사탕이 떨어졌을 때, 상대의 사탕이 떨어졌는지 확인해서 서로 사탕의수가 같음을 확인할 수 있습니다.

이 아이들이 사용하는 방법이 바로 일대일 대응을 이용한 것입니다. 누가 설명을 해준 것도 아니지만, 이 아이들은 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재하면, 두 집합의 원소의 개수가 같다는 것을 알고 있는 것입니다!

따라서 두 (유한) 집합의 원소의 개수를 정확히 모르더라도, 두 집합사이에 일대일 대응을 만들어 줄 수 있다면, 두 집합의 원소의 개수가 같음을 알아낼 수 있습니다. 이것이 바로 일대일 대응의 마법입니다. (크기를 비교하려는 두 집합이 무한집합일 때에는 원소의 개수 대신에 농도(cardinality)를 비교합니다.)

두 집합 $A$, $B$ 사이에 일대일 대응 관계가 존재하면, 두 집합의 원소의 개수 $n(A)=n(B)$

[문제2]

이제 다시 문제로 돌아가 보겠습니다. [문제2]에서 요구하는 것은 다음 네 개의 식
$$\begin{align}
A_1&-B_1\\
A_{-1}&-B_{-1}\\
A_{i}&-B_{i}\\
A_{-i}&-B_{-i}\\
\end{align}$$이 같음을 보여 달라는 것입니다. 이 문제에서 가장 어려운 점은 원탁에 앉은 학생들이 선택한 숫자에 따라 네 개의 식이 어떤 값을 가질지는 매번 달라질 수 있다는 것입니다. 따라서 모든 경우에 대해서 네 식의 값을 직접 구해 정말로 네 식의 값이 같은지 확인하는 것은 쉽지 않아 보입니다.

자, 이제 일대일 대응의 마법이 필요한 순간입니다. 만약 문제에서 주어진 네 개의 식에서 집합 네 개를 만들고, 그 집합들 사이에 일대일 대응이 존재한다는 것을 보이면, 문제에서 요구한 것을 보일 수 있습니다. 그렇다면 남은 것은 네 개의 집합을 선정하는 것과 그 집합들 사이에 일대일 대응이 존재하는 것을 보이는 것입니다.

$A_x$와 $B_x$의 의미

일대일 대응을 만들기 위해 가장 먼저 해야 할 일은 $A_x$와 $ B_x$의 의미를 확인하는 것입니다. 문제에 따르면 $A_x$는 자신은 $x$를 고르고, 자신의 오른쪽에 있는 학생이 $ix$를 선택한 학생의 수이고, $B_x$는 자신은 $x$를 고르고, 자신의 왼쪽에 있는 학생이 $ix$를 쓴 학생의 수입니다.

앞서의 글에서, $x$를 고른 학생의 다음 학생(반시계 방향)이 선택할 수 있는 숫자는 $1$을 곱한 $x$이거나, $i$를 곱한 $ix$ 또는 $-i$를 곱한 $-ix$ 중 하나가 되어야 합니다. 모든 학생들이 원탁의 중앙을 보고 있는 상태라면, [문제2]에서 말한 오른쪽 학생은 반시계 방향으로 이웃한 학생이 됩니다. 따라서 ￦(A_x\)는 반시계 방향으로 돌면서 $x$에서 $i$를 곱해 $ix$가 된 전환 횟수의 합을 뜻합니다. 예를 들어, 예를 들어 $A_1$은 반시계 방향으로 돌며 $$1\xrightarrow{\times i}i$$로 전환이 된 횟수의 합입니다.

그렇다면 $B_x$는 어떻게 해석 할 수 있을까요? 학생의 왼쪽 방향은 시계방향입니다. 따라서 $B_x$는 시계방향으로 돌면서 $x$에 $i$를 곱해 $ix$가 된 전환 횟수의 합을 뜻합니다. 그런데 시계방향으로 $i$를 곱한 것은 반시계방향으로 $-i$를 곱한 것과 같습니다. $$\begin{align}
&x\xrightarrow{\times i}ix\\
&ix\xrightarrow{\times -i} x\\
\end{align}$$ 즉, $B_x$는 반시계 방향으로 돌면서 $ix$에 $i$를 곱해 $x$가 된 전환 횟수의 합을 뜻합니다. 예를 들어$B_1$은 반시계 방향으로 돌며 $$-i\xrightarrow{\times i}1$$로 전환된 횟수를 의미합니다.

다음 그림은 $x\in \{1,-1, i, -i\}$에 대해 $A_x$와 $B_x$의 의미를 나타낸 것입니다. $$\require{AMScd}
\begin{array}{c|c}
\begin{CD}
\fbox{1} @<\times -i(B_1)<< {}\\
@| @|\\
{} @>>\times i(A_1)> i
\end{CD} & \begin{CD}
\fbox{-1} @<\times -i(B_{-1})<< {}\\
@| @|\\
{} @>>\times i(A_{-1})> -i
\end{CD} \\ \hline
\begin{CD}
\fbox{i} @<\times -i(B_i)<< {}\\
@| @|\\
{} @>>\times i(A_i)> -1
\end{CD} & \begin{CD}
\fbox{-i} @<\times -i(B_{-i})<< {}\\
@| @|\\
{} @>>\times i(A_{-1})> 1
\end{CD}
\end{array}$$ 이제 $A_x$와 $B_x$의 의미를 모둠 전환으로 파악할 수 있게 되었습니다. 하지만 여전히 문제에서 제시한 뺄셈식 $A_x-B_x$은 그 의미가 잘 보이지 않습니다. $x$에서 $ix$로의 전환횟수와 $-ix$에서 $x$로의 전환횟수를 뺀다는 것이 어떤 뜻일까요?

$A_x-B_x$의 의미가 전달이 잘 되지 않는 가장 큰 이유는 “~에서”와 “~로”란 단어의 방향때문에 생기는 해석의 차이 때문입니다. $A_x$과 $B_x$ 모두 숫자 $x$를 기준으로 사용하긴 하지만, $A_x$는 “$x$에서” $ix$로 전환이 된 횟수이기 때문에 출발점이 $x$일 때를 기준으로 한 것이고, $B_x$는 $-ix$ 에서 “$x$로” 전환된 횟수이기 때문에 도착점이 $x$일 때를 기준으로 한 것입니다. 출발점$x$와 도착점$x$가 서로 충돌하여 그 의미를 찾는 것이 어려워지는 것입니다.

그렇다면 $B_x$를 해석할 때, 도착점($x$) 대신 출발점$ix$을 기준으로 해 보면 어떨까요? 예를 들면, $B_{-i}$은 $-i$로 도착하는 횟수생각하지 말고 $i\times -i=1$에서 출발하는 횟수로 생각해 보는 것입니다. 각 숫자를 출발점으로 하여 $i$나 $-i$를 곱했을 때, 반영이 되어야 하는 횟수를 나타내는 것입니다.

$$\begin{array}{c|c|c}
\text{출발수} & i\text{를 곱하면} & -i\text{를 곱하면} \\\hline
1\text{에서} & i (A_1) & -i (B_{-i})\\ \hline
-1\text{에서}& -i (A_{-1}) & i (B_{i})\\ \hline
i\text{에서}& -1 (A_i) & 1 (B_1)\\ \hline
-i\text{에서}& 1 (A_{-i}) & -1 (B_{-1})
\end{array}$$

이제 문제에서 제시한 등식이 정말로 성립하는지 확인해 볼 차례입니다. 다음과 같이 등식① , 등식②, 등식③ 이 성립하는 것을 보여 등식 전체가 성립하는 것을 보이려 합니다.

① : $A_1-B_1=A_{-i}-B_{-i}$

위 표에 의하면 출발점이 $1$인 전환은 $A_1$과 $B_{-i}$입니다. 따라서 문제에서 요구한 식 $$\begin{align}
A_1&-B_1\\
A_{-1}&-B_{-1}\\
A_{i}&-B_{i}\\
A_{-i}&-B_{-i}\\
\end{align}$$에서 $A_1$과 $B_{-i}$가 들어있는 식을 찾아보면, 첫번째 식과 네번째 식에 $A_1$과 $B_{-i}$가 들어있다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 먼저 등식 $$A_1-B_1=A_{-i}-B_{-i}$$이 성립한다는 것을 보이면 좋을 것 같습니다. $A_1$과 $B_{-i}$를 같이 묶어서 해석하기 위해 등식을 $$A_1+B_{-i}=A_{-i}+B_{1}$$로 바꾸어 주고, 등식의 의미를 살펴보겠습니다. 이 등식의 각 항의 의미를 다시 한번 나열하면 다음과 같습니다. $$\begin{align}
A_1\ &:\text{ 1에서 i로 전환되는 횟수}\\
B_{-i}\ &:\text{ 1에서 -i로 전환되는 횟수}\\
A_{-i}\ &:\text{ -i에서 1로 전환되는 횟수}\\
B_{1}\ &:\text{ i에서 1로 전환되는 횟수}
\end{align}$$ 따라서 이 등식의 좌변 $A_1+B_{-i}$는 $1$에서 $i$로 전환되는 횟수와 $1$에서 $-i$로 전환되는 횟수의 합입니다. 즉, $A_1+B_{-i}$는 숫자 $1$로 채워진 실수 모둠에서 허수 모둠으로 전환되는 횟수를 의미합니다.

그리고 우변 $A_{-i}+B_{1}$은 $-i$에서 $1$로 전환되는 횟수와 $i$에서 $1$로 전환되는 횟수의 합입니다. 즉, $A_{-i}+B_{1}$는 허수 모둠에서 숫자 $1$로 채워진 실수 모둠으로의 전환 횟수를 의미합니다.

그러므로 등식 $$A_1+B_{-i}=A_{-i}+B_{1}$$은 실수($1$)모둠에서 허수모둠으로 전환되는 횟수와 허수모둠에서 실수($1$)모둠으로 전환되는 횟수가 서로 같다는 것을 뜻하고 있습니다. 그런데 이 문제에서 드러난 모둠 전환 규칙을 생각해보면, 모둠이 전환될 때에는 반드시 실수 모둠과 허수 모둠이 교대로 나타나야 합니다. 따라서 어떤 전환이 허수에서 실수(1)모둠으로 전환이라면, 그 다음 전환은 반드시 실수(1) 모둠에서 허수모둠으로의 전환이 되어야 합니다. 이것은 허수모둠에서 실수(1)모둠으로의 전환과 실수(1)모둠에서 허수모둠으로의 전환사이에 일대일 대응을 만들수 있다라는 것을 나타내고 있는 것입니다!

앞서 전체 전환의 수가 짝수(=$2m$)이라고 하였으므로 만약 어떤 $전환_k$ $(1\leq k \leq 2m-1)$가 허수모둠에서 실수($1$)모둠으로의 전환이라면, 그 다음 전환인 $전환_{k+1}$은 반드시 실수$1$)모둠에서 허수로의 전환이 되기 때문에 $전환_k$와 $전환_{k+1}$을 대응시켜 줄 수 있습니다. (만약 마지막 전환, 즉 $전환_{2m}$이 허수모둠에서 실수($1$)모둠으로의 전환이라면, 앞에서 확인한 전환의 대칭성(식x)에 의해 첫번째 전환인 $전환_{1}$이 실수$1$에서 허수모둠으로의 전환이 되기 때문에 이 때에는 $전환_{2m}$과 $전환_1$을 대응시켜 줍니다.)

따라서 허수모둠에서 실수(1)모둠으로의 전환과 실수(1)모둠에서 허수모둠으로의 전환사이에 일대일 대응을 만들수 있으므로 허수모둠에서 실수(1)모둠으로의 전환과 실수(1)모둠에서 허수모둠으로의 전환의 횟수는 같습니다. 즉, $$A_1-B_1=A_{-i}-B_{-i}$$가 성립하므로 등식①도 역시 성립합니다.

② : $A_{-1}-B_{-1}=A_{i}-B_{i}$

다음으로 등식 $A_{-1}-B_{-1}=A_{i}-B_{i}$을 살펴보겠습니다. 이 등식은 $$A_{-1}+B_{i}=A_{i}+B_{-1}$$로 바꾸어 쓸 수 있고, 각 항은 의미는 다음과 같습니다. $$\begin{align}
A_{-1}\ &:\text{ -1에서 -i로 전환되는 횟수}\\
B_{i}\ &:\text{ -1에서 i로 전환되는 횟수}\\
A_{i}\ &:\text{ i에서 -1로 전환되는 횟수}\\
B_{-1}\ &:\text{ -i에서 -1로 전환되는 횟수}
\end{align}$$ 따라서 이 등식의 좌변 $A_{-1}+B_{i}$은 실수($-1$)모둠에서 허수($-i$)모둠으로 전환하는 횟수와 실수($-1$)모둠에서 허수($i$)모둠으로 전환하는 횟수의 합을 나타냅니다. 즉, 이 등식의 좌변은 실수($-1$)모둠에서 허수모둠으로 전환하는 횟수를 의미합니다.

그리고 이 등식의 우변 $A_{i}+B_{-1}$은 허수($i$)모둠에서 실수($-1$)모둠으로 전환하는 횟수와 허수($-i$)모둠에서 실수($-1$)모둠으로 전환하는 횟수의 합을 나타냅니다. 즉, 이 등식의 우변은 허수모둠에서 실수($-1$)모둠으로 전환하는 횟수를 의미합니다.

등식①때와 마찬가지로, 실수와 허수모둠이 교대로 나타나야 한다는 모둠의 전환 규칙을 생각하면, 어떤 전환이 허수에서 실수($-1$)모둠으로의 전환을 나타낸다면, 그 다음 전환은 반드시 실수($-1$)에서 허수모둠으로의 전환이 되어야 합니다. 따라서 허수에서 실수($-1$)모둠으로의 전환과 실수($-1$)에서 허수모둠으로의 전환사이에 일대일 대응을 만들 수 있으므로 허수에서 실수($-1$)모둠으로의 전환과 실수($-1$)에서 허수모둠으로의 전환횟수는 서로 같습니다. 따라서 $$A_{-1}+B_{i}=A_{i}+B_{-1}$$이 성립하므로 등식②도 성립합니다.

③ : $A_{1}-B_{1}=A_{i}-B_{i}$

마지막으로 등식 $A_{1}-B_{1}=A_{i}-B_{i}$ 을 살펴보겠습니다. 이 등식은 $$A_{1}+B_{i}=A_{i}+B_{1}$$로 바꾸어 쓸 수 있고, 각항은 의미는 다음과 같습니다. $$\begin{align}
A_{1}\ &:\text{ 1에서 i로 전환되는 횟수}\\
B_{i}\ &:\text{ -1에서 i로 전환되는 횟수}\\
A_{i}\ &:\text{ i에서 -1로 전환되는 횟수}\\
B_{1}\ &:\text{ i에서 1로 전환되는 횟수}
\end{align}$$ 이 등식의 좌변 $A_{1}-B_{i}$는 실수($1$)모둠에서 허수($i$)모둠으로 전환하는 횟수와 실수($-1$)모둠에서 허수($i$)모둠으로 전환하는 횟수의 합을 나타냅니다. 즉, 이 등식의 좌변은 실수모둠에서 허수($i$)모둠으로 전환하는 횟수를 의미합니다.

그리고 이 등식의 우변 $A_{i}+B_{1}$은 허수($i$)모둠에서 실수($-1$)모둠으로 전환하는 횟수와 허수($i$)모둠에서 실수($1$)모둠으로 전환하는 횟수의 합을 나타냅니다. 즉, 이 등식의 우변은 허수($i$)모둠에서 실수모둠으로 전환하는 횟수를 의미합니다.

다시한번 실수와 허수모둠이 교대로 나타나야 한다는 모둠의 전환 규칙을 생각하면, 어떤 전환이 실수에서 허수($i$)모둠으로의 전환을 나타낸다면 그 다음 전환은 반드시 허수($i$)에서 실수모둠으로의 전환이 되어야 합니다. 따라서 실수에서 허수($i$)모둠으로의 전환과 허수($i$)에서 실수모둠으로의 전환사이에 일대일 대응을 만들 수 있습니다. 따라서 수에서 허수($i$)모둠으로의 전환과 허수($i$)에서 실수모둠으로의 전환의 수는 서로 같습니다. 따라서 $$A_{1}+B_{i}=A_{i}+B_{1}$$가 성립하므로 등식③도 성립합니다.

정리

등식① , 등식②, 등식③이 모두 참이므로, 문제에서 제시한 등식 $$\begin{align}
&A_1-B_1=A_{-1}-B_{-1}\\
&=A_{i}-B_{i}=A_{-i}-B_{-i}
\end{align}$$이 참이라는 것을 알 수 있습니다.