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정\(2n\)각형(\(n\ge 3\))의 세 꼭지점을 연결해 만든 삼각형중에서

$$\text{예각삼각형의 개수:둔각삼각형의 개수}=1:3$$

\(1:3\)법칙이 성립하는 이유-대응의 원리

예각삼각형의 개수와 둔각삼각형의 개수 사이에 \(1:3\) 법칙이 성립하는 이유는 대응의 원리로 설명할 수 있습니다. 즉, 정\(2n\)각형의 꼭짓점 중에서 세 개를 골라 만들어 지는 모든 예각 삼각형은 그에 대응하는 세 개의 둔각삼각형을 찾을 수 있습니다.

1. 예각삼각형 하나 그려보기

예각삼각형과 둔각삼각형의 대응관계를 살펴보기 위해 예각삼각형 \(2n\)각형의 세 꼭짓점을 연결해서 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)를 하나 만들어줍니다.

2. 정\(2n\)각형의 외접원과 중심 표시하기

다음으로, 정\(2n\)각형의 외접원과 중심을 표시해 줍니다. 이 원의 성질을 이용해 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대응하는 둔각삼각형을 만들어 줄 것입니다.

3. 둔각삼각형 \(\mathrm{A’BC}\) 만들기

정\(2n\)각형의 모든 꼭짓점은 외접원의 중심에 대해 대칭이 되는 다른 꼭짓점을 갖고 있습니다. 예를 들어, 예각삼각형의 한 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)과 외접원의 중심\(\mathrm{O}\)를 연결하는 지름을 그리면, 이 지름은 반드시 점\(\mathrm{A}\)와 중심\(\mathrm{O}\)에 대해 대칭인 점\(\mathrm{A’}\)를 지나게 됩니다.

이제 점\(\mathrm{A’}\)를 예각삼각형의 변\(\mathrm{BC}\)의 양끝에 연결해 주면 이 예각삼각형\(\mathrm{ABC}\)에만 대응하는 둔각삼각형\(\mathrm{A’BC}\)이 만들어지게 됩니다.

둔각삼각형  \(\mathrm{A’BC}\) 이 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 일대일 대응이 되는 이유는 두 삼각형이 두 개의 동일한 꼭짓점 \(\mathrm{B}\)와 \(\mathrm{C}\)를 사용하고 있고, 점\(\mathrm{A}\)와 점\(\mathrm{A’}\)는 서로가 서로에 대해 외접원의 중심 \(\mathrm{O}\)에 대한 유일한 대칭점이기 때문입니다. 즉, 점\(\mathrm{A}\)에 대해 점\(\mathrm{A’}\)를 결정하는 방법이 \(1\)가지 뿐이므로 (이것은 반대의 경우도 마찬가지입니다. 점\(\mathrm{A’}\)에 대해 점\(\mathrm{A}\)를 결정하는 방법은 \(1\)가지 뿐입니다.) 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 둔각삼각형 \(\mathrm{A’BC}\)사이에는 일대일 대응관계가 존재합니다.

4. 둔각삼각형 \(\mathrm{AB’C}\) 만들기

이번에는 점\(\mathrm{O}\)에 대해서 점\(\mathrm{B}\)와 대칭인 점\(\mathrm{B’}\)와 선분\(\mathrm{AC}\)의 양끝을 연결하여 두번째 둔각삼각형\(\mathrm{AB’C}\)를 만들어줍니다. 앞에서 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 둔각삼각형 \(\mathrm{A’BC}\)사이에 일대일 대응관계가 존재한 것과 같은 이유로, 둔각삼각형 \(\mathrm{ACB’}\)과 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)사이에는 일대일 대응 관계가 존재합니다.

5. 둔각삼각형 \(\mathrm{ABC’}\) 만들기

마지막으로, 점\(\mathrm{O}\)에 대해서 점\(\mathrm{C}\)와 대칭인 점\(\mathrm{C’}\)와 선분\(\mathrm{AB}\)의 양끝을 연결하여 두번째 둔각삼각형\(\mathrm{ABC’}\)를 만들어줍니다. 앞의 두 둔각삼각형때와 같은 이유로 이 둔각삼각형 \(\mathrm{ABC’}\)과 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)사이에는 일대일 대응 관계가 존재합니다.

이상에서, 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대응하는 둔각삼각형의 개수는 \(3\)개 이므로, $$\text{예각삼각형의 개수:둔각삼각형의 개수}=1:3$$

활용1:예각삼각형과 둔각삼각형의 수

모든 삼각형은 삼각형의 내각의 크기를 기준으로 직각삼각형, 예각삼각형, 둔각삼각형으로 나눌 수 있습니다. 예각삼각형의 개수와 둔각삼각형의 개수의 비가 \(1:3\)이기 때문에, 정\(2n\)각형의 세 꼭짓점으로 만들 수 있는 삼각형중에서 직각삼각형을 제외하고 남은 삼각형의 개수를 \(1:3\)으로 비례배분 해주면 예각삼각형과 둔각삼각형의 개수를 셀 수 있습니다.

지름에 대한 원주각이 \(90°\)이므로 직각삼각형을 만들기 위해서는 한 개의 지름을 먼저 선택하고, 지름의 양끝을 제외한 나머지 \(2n-2\)개의 점에서 한 점을 골라 연결해주면 됩니다. 

정\(2n\)각형의 꼭짓점 중에서 정\(2n\)각형의 외접원의 중심에 대한  대칭인 점 \(2\)개를 연결하면 지름이 됩니다. 따라서 선택할 수 있는 지름의 개수는 모두 \(2n\div 2=n\)개 입니다. 

이상에서, 정\(2n\)각형의 꼭짓점 중 세 개를 연결하여 만들 수 있는 직각삼각형의 개수는 $$\begin{align}
&\text{지름의 수}\times\text{지름의 양끝을 제외한 꼭짓점의 수}\\
&=n(2n-2)\\
&=2n(n-1)\\
\end{align}$$ 이고, 정\(2n\)각형의 꼭짓점 중 세 개를 연결하여 만들 수 있는 삼각형의 개수는 $$_{2n}C_3$$이므로 $$\begin{align}
\text{예각삼각형의 수}=\frac{1}{4}(_{2n}C_3-2n(n-1))\\
\text{둔각삼각형의 수}=\frac{3}{4}(_{2n}C_3-2n(n-1))\\
\end{align}$$

활용2 : 조건부 확률

\(1:3\)법칙을 이용하면, 다음과 같은 조건부 확률도 간단하게 계산할 수 있습니다.

문제

정\(2n\)각형의 세 꼭지점을 연결해 만든 삼각형이 직각삼각형이 아니었을 때, 그 삼각형이 예각삼각형이 될 확률은?

풀이

\(1:3\)법칙에 의해, 직각삼각형의 제외한 삼각형주에서 예각삼각형과 둔각삼각형의 개수의 비는 \(1:3\)이므로, 정\(2n\)각형의 세 꼭지점을 연결해 만든 삼각형이 직각삼각형이 아니었을 때, 그 삼각형이 예각삼각형이 될 확률은 $$\frac{1}{4}$$