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이 글에서는 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법에 대해 설명합니다. 예를 들어, $$\int \sin x\cdot e^x dx$$의 테이블 적분은 다음과 같습니다. $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
\sin x&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
\cos x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
-\sin x&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&e^x\\
\end{array}$$$$\int \sin x\cdot e^xdx=+(\sin x\cdot e^x)-(\cos x\cdot e^x)+\bbox[yellow]{\int(-\sin x)\cdot e^x dx}$$

※다항함수×지수함수의 테이블 적분법→다항함수×지수함수 또는 다항함수×삼각함수의 테이블 적분법
※테이블 적분법의 원리→테이블 적분법의 원리 및 부분적분법의 귀납적 관계

삼각함수×지수함수의 테이블 적분법

기본적인 방법은 다항함수×지수함수, 다항함수×삼각함수의 테이블 적분과 같습니다. 테이블 적분의 가장 핵심은 \(D\) 열에 적은 함수는 계속해서 미분을 하고, \(I\) 열에 적은 함수는 계속해서 적분을 하며 표를 채워나가는 것입니다. 예를 들어, $$\int \sin x\cdot e^x dx$$의 테이블 적분은 다음과 같습니다.

STEP1. 표를 만들고 \(D\)열과 \(I\)열 정하기

삼각함수×지수함수의 경우, \(D\)열 밑에 삼각함수나 지수함수 중 어떤 함수를 적어도 좋습니다. 여기서는 삼각함수를 \(D\) 열에, 지수함수를 \(I\) 열 밑에 적어주겠습니다. $$\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
\sin x&&e^x
\end{array}
\end{array}$$

STEP 2. 표 채우기

이제 이 표를 한 줄씩 채워갑니다. 먼저 \(D\)열 마지막에 적힌 함수의 도함수를 그 밑에 적고, \(I\)열 마지막에 적힌 함수의 (적분상수가 0)인 부정적분을 적어줍니다. $$\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)\\
f'(x)&&\int g(x)dx
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
\sin x&&e^x\\
\cos x&&e^x
\end{array}
\end{array}$$

그런데 거듭해서 미분을 하면 언젠가는 0이 되는 다항함수와 달리, 삼각함수와 지수함수는 미분을 거듭하더라도 0이 되지 않습니다. 따라서 \(D\) 열에 적힌 함수가 0이 될 때까지 반복해서 미분을 하며 표를 채우려고 하면 끝이 나지 않습니다. 따라서 삼각함수×지수함수의 테이블 적분은 \(D\)열과 \(I\)열에 적힌 함수의 곱이 원래 적분하려는 함수와 같아지거나 상수배가 될 때까지 표를 채워나가면 됩니다.$$\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)\\
f'(x)&&\int g(x)\\
f^″(x)&&\int\int g(x)
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
\sin x&&e^x\\
\cos x&&e^x\\
-\sin x&&e^x\\
\end{array}
\end{array}$$ 오른쪽 표 마지막 줄에 적힌 \(-\sin x\) 와 \(e^x\) 를 곱하면 $$-\sin x\cdot e^x$$로 원래 적분하려는 함수인 $$\sin x\cdot e^x$$와 부호가 반대입니다. 따라서 여기서 표를 채우는 작업을 끝을 냅니다.

STEP 3. \(D\)열과 \(I\)열 연결해 주기

오른쪽 아래 방향의 화살표를 이용해서 \(D\)열과 \(I\)열을 연결해줍니다. 여기까지는 다항함수×지수함수 또는 다항함수×삼각함수의 테이블 적분과 같습니다. 여기에서 화살표를 하나 더 추가해 주어야 합니다. 오른쪽 방향의 화살표를 이용해 마지막줄의 \(D\) 열과 \(I\)열을 연결시켜줍니다. 화살표에 붙이는 부호 규칙은 동일합니다. 홀수번째의 화살표에는 ‘+’를, 짝수번째의 화살표에는 ‘-‘를 적어줍니다. $$\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)\\
&\searrow{+}\\
f'(x)&&\int g(x)\\
&\searrow{-}\\
f^″(x)&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&\int\int g(x)\\
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
\sin x&&e^x\\
&\searrow{+}\\
\cos x&&e^x\\
&\searrow{-}\\
-\sin x&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&e^x
\end{array}
\end{array}$$

STEP 4. 부정적분 구하기

이제 마지막 단계입니다. 오른쪽 아래 방향의 화살표로 연결된 함수들을 곱하고, 화살표에 붙어 있는 부호를 사용해 그 결과들을 연결해줍니다. 그리고, 표의 마지막 줄에 있는 오른쪽 방향의 화살표로 연결된 두 함수는 두 함수를 곱한 후 \(\int\) 기호 안에 넣어주어야 합니다. $$\int \sin x\cdot e^xdx = +(\sin x\cdot e^x)-(\cos x\cdot e^x)\bbox[yellow]{+\int(-\sin x)\cdot e^xdx}$$ 이 식을 정리하면 다음과 같습니다. $$2\int\sin x\cdot e^xdx = (\sin x-\cos x)e^x+C_1$$$$\therefore \int \sin x\cdot e^xdx=\frac{1}{2}(\sin x – \cos x)e^x +C$$

응용

문제

$$\int\sin{bx}\cdot e^{-sx}dx$$ 를 구하시오.

풀이

앞서와 같이 \(D\) 열에 \(\sin{bx}\)를, \(I\) 열에 \(e^{-sx}\)를 배치하고 테이블을 만들어 보겠습니다.

$$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
\sin{bx}&{}&e^{-sx}\\
{}&\searrow{+}&{}\\
b\cos{bx}&{}&-\frac{1}{s}e^{-sx}\\
{}&\searrow{-}&{}\\
-b^2\sin{bx}&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&\frac{1}{s^2}e^{-sx}\\
\end{array}$$ 이므로 $$\begin{align}&\int \sin{bx}\cdot e^{-sx}dx\\
&=+(\sin{bx}\cdot -\frac{1}{s}e^{-sx})-(b\cos{bx}\cdot\frac{b}{s^2}e^{-sx})\\
&+\bbox[yellow]{\int(-b^2\sin{bx})\cdot \frac{1}{s^2}e^{-sx} dx}\end{align}$$이 식을 정리하면 $$\left(1+\frac{b^2}{s^2}\right)\int\sin{bx}\cdot e^{-sx}dx=-\frac{1}{s}\sin{bx}\cdot e^{-sx}-\frac{b}{s^2}\cos{bx}\cdot e^{-x}+C_1$$$$\therefore \int\sin{bx}\cdot e^{-x}dx=-\frac{e^{-sx}(s\sin{bx}+b\cos{bx})}{b^2+s^2}+C$$