Category: 삼각함수

소소하지만 확실한 테크닉 – 변의 길이가 무리수인 삼각형과 헤론의 공식

삼각형의 세 변의 길이가 각각 \(a\), \(b\), \(c\)이고, 한 개 이상의 변의 길이가 무리수인 삼각형의 넓이는 헤론의 공식의 또 다른 형태

$$\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$$

을 사용합니다. 이 글에서는 이 식의 사용법과 증명을 알아 보겠습니다.

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전설의 수학 문제를 찾아서 – tan1°의 정체 (2006, 교토)

전설의 수학 문제를 찾아서, 7번째 문제는 \(\tan1^\circ\)의 정체입니다. 이 문제는 여러 개의 기본적인 수학 개념을 조합하여 어떻게 좋은 문제를 만들 수 있는지를 아주 잘 보여주는 문제입니다. 문제의 길이는 아주 짧지만 그 여운은 아주 강렬했던 문제입니다. 실제로 이 문제는 수험생들 중 일부만 풀 수 있었던 것으로 알려져 있습니다. 그 이유는 과연 무엇이었을까요? 이 문제를 풀기 위해 필요한 기본 개념들은 무엇일까요?

\(\tan1^\circ\)는 유리수인가? 무리수인가?

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소소하지만 확실한 테크닉 – (tanx-sinx)의 근사화 (2010년 6월 모의고사 가형 27번)

대부분의 삼각함수의 극한 문제는 삼각함수를 다음과 같이 근사하여 풀 수 있습니다.  $$\sin x\approx x,\ \tan x\approx x,\ 1-\cos x\approx\frac{x^2}{2}$$ 하지만 이 근사만으로는 풀 수 없는 문제가 종종 출제 되곤 합니다. 2010년 6월 모의고사 가형 27번이 바로 그러한 경우입니다.

[2010학년도 6월 가형 27번]
$$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}$$의 값은?

이 문제를 기존의 근사법으로 풀 수 없는 이유는 무엇일까요? 그리고 이 문제를 풀기 위해서 \(\tan x\) 와 \(\sin x\)를 어떻게 근사하면 좋을까요? (more…)

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역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 적분

\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,

$$\begin{align}\int \sin^{-1}xdx&= x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \cos^{-1}xdx&=x\cos^{-1}x-\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \tan^{-1}xdx&=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C
\end{align}$$

입니다. 이 글에서는 역함수 치환적분의 원리를 설명하고, 이를 이용해서 역삼각함수의 적분을 증명해 보겠습니다.

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sin(x), cos(x)를 tan(x/2)로 나타내기 – Weierstrass 치환

\(t=\tan\frac{x}{2}\) 로 치환하면 \(\sin x\) 와 \(\cos x\) 를 \(t\) 로 표현할 수 있습니다.

$$\begin{equation}\begin{aligned}\sin x&=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{aligned}\end{equation}$$

이 결과는 삼각함수의 치환적분에 유용하게 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 변형의 증명과 응용을 설명합니다.

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