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$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$ 라고 할 때,

서로 다른 $n+1$개의 실수 $p_1,p_2,…,p_{n+1}$에 대해,  $$\begin{align} &f(p_1)=f(p_2)=\cdots=f(p_{n+1})=0\\ &\Leftrightarrow f(x)=0 \text{이 }x\text{에 대한 항등식}\end{align}$$

명제의 의미

이 명제의 의미는 서로 다른 $n+1$개의 실수 $p_1,p_2,…,p_{n+1}$에 대해 다음과 같이 조건 $$f(p_1)=f(p_2)=\cdots=f(p_{n+1})=0\tag{1}\label{eq1}$$ 이 성립하면, 등식 $f(x)=0$은 항등식이라는 것으로 바꾸어 말할 수 있다는 것입니다. 증명을 하기 전 몇가지 예를 들어 살펴보겠습니다.

$n=1$일 때

먼저 $n=1$ 일 때, $f(x)=a_1x+a_0$가 서로 다른 실수 $p_1$, $p_2$에 대해 $$f(p_1)=f(p_2)=0$$ 이 성립한다고 하면, $$\begin{align} a_1p+a_0&=0\tag{2}\label{eq2}\\ a_1q+a_0&=0\tag{3}\label{eq3}\\ \end{align}$$ 입니다. 다음으로 식$\eqref{eq2}-\eqref{eq3}$를 계산하면, $$a_1(p_1-q_2)=0$$ 을 얻습니다. 그런데 $p_1$와 $p_2$는 서로 다른 실수이므로 $p_1-q_2\ne 0$입니다. 따라서 $a_1(p-q)=0$이기 위해서는 $a_1=0$이어야 합니다. 이제 $a_1=0$을 식$\eqref{eq1}$에 대입하면 $$0\cdot p _1+ a_0=0$$ 이므로 $$a_0=0$$ 입니다. 따라서 $a_1=a_0=0$입니다.

$n=2$일 때

다음으로 $n=2$일 때, $f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$가 서로 다른 세 실수 $p_1$, $p_2$, $p_3$에 대해 $$f(p_1)=f(p_2)=f(p_3)=0$$
이 성립한다면 먼저 $f(p_1)=0$이고, $f(p_2)=0$인 것을 이용하여 $$f(x)=a_2(x-p_1)(x-p_2)$$ 로 $f(x)$를 인수분해 할 수 있습니다. 한편, $f(p_3)=0$ 이므로 $$f(p_3)=a_2(p_3-p_1)(p_3-p2)=0$$ 이어야 합니다. 그런데, $p_1$, $p_2$, $p_3$는 서로 다른 세 실수 이므로 $$\begin{align}p_3-p_1\ne0 \\p_3-p_2\ne 0 \end{align}$$ 입니다. 따라서 $$a_2(p_3-p_1)(p_3-p2)=0$$ 이 되기 위해서는 $a_3=0$이어어야 하고, 결과적으로 $$\begin{align} f(x)&=0\cdot x^2+a_1x+a_0\\ &=a_1x+a_0\\ \end{align}$$ 가 됩니다. 앞에서 $n=1$일 때 $f(p_1)=f(p_2)=0$이면 $a_1=a_0=0$인 것은 이미 확인하였으므로 $$a_2=a_1=a_0=0$$ 입니다.

조건 $\eqref{eq1}$의 목적

그렇다면 조건 $\eqref{eq1}$을 사용하는 목적은 무엇일까요?  조건 $\eqref{eq1}$을 사용하는 가장 큰 이유는 등식 $f(x)=0$이 항등식임을 보이기 위해 필요한 계산을 피할 수 있다는 것입니다. 조건 $\eqref{eq1}$을 사용할 수 있다면  $f(x)=0$이 항등식임을 보이기 위해 $f(x)$의 모든 계수가 $0$이 된다는 것을 계산을 통해 보여줄 필요가 없습니다. 즉, $$a_n=a_{n-1}=a_{n-2}=\cdots=a_0=0$$ 임을 보일 필요없이 서로 다른 $n+1$개의 실수에 대해 등식 $f(x)=0$가 성립하는 것만을 보여줌으로써 등식 $f(x)=0$ 가 항등식이라는 것을 보일 수 있게 됩니다.

증명

등식 $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0$$ 이 항등식이 될 필요충분조건은$f(x)$의 모든 계수가 $0$이 되는 것, 즉 $$a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0$$ 이므로 $$조건\eqref{eq1}\Leftrightarrow  a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0$$ 을 보여주면 됩니다. 필요충분관계의 증명이므로, 필요성과 충분성을 둘 다 확인해주어야 합니다.

조건$\eqref{eq1}\Rightarrow a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0$

수학적 귀납법을 사용하여 모든 자연수 $n$에 대해 성립하는 것을 보이면 좋을 것 같습니다. 기본적인 증명의 얼개는 앞서 $n=2$인 경우에서 인수분해를 사용하여 $f(x)$의 모든 계수가 $0$인 것을 보인 것과 같은 방법을 사용합니다.

먼저 $n=1$일 때, 이 명제가 성립하는 것은 앞에서 이미 보였습니다. 이제 $n=k$일 때, 이 명제가 성립한다고 하겠습니다,

$$f(x)=a_{k+1}x^{k+1}+a_{k}x^{k}+\cdots+a_0$$ 가 서로 다른 $k+2$개의 실수 $$p_1, p_2,\cdots p_{k+2}$$ 에 대해 $$f(p_1)=f(p_2)=\cdots =f(p_{k+2})=0$$ 이 성립한다면 먼저 $k+1$개의 실수 $p_1,p_2,\cdots,p_{k+1}$을 이용해 $f(x)$를 다음과 같이 인수분해 해 줄 수 있습니다. $$f(x)=a_n(x-p_1)(x-p_2)\cdots(x-p_{k+1})$$ 한편, $f(p_{k+2})=0$이므로 $$\begin{align} &f(p_{k+2})\\ &=a_{k+1}(p_{k+2}-p_1)(p_{k+2}-p_2)\cdots(p_{k+2}-p_{k+1})\\ &=0\end{align}$$ 입니다. 그런데 $p_1,p_2,\cdots,p_{k+2}$는 서로 다른 실수이기 때문에 $$\begin{align} p_{k+2}-p_{1}&\ne 0\\ p_{k+2}-p_{2}&\ne 0\\ \cdots \\ p_{k+2}-p_{k}&\ne 0\\ \end{align}$$
입니다. 따라서 $$a_{k+1}(p_{n+1}-p_1)(p_{n+2}-p_2)\cdots(p_{n+1}-p_n)=0$$ 이기 위해서는 $$a_{k+1}=0\tag{4}\label{eq4}$$ 이어야 합니다. 따라서 $$\begin{align} f(x)&=0\cdot x^{k+1}+a_{k}x^{k}+\cdots+a_0\\ &=a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_0\\ \end{align}$$ 그런데 $f(x)$는 서로 다른 $n+2$개의 실수에 대해 그 값이 $0$이 되는 다항식이므로 귀납 가정에 의해, $$a_k=a_{k-1}=\cdots=a_0=0\tag{5}\label{eq5}$$ 이 되어야 합니다. 따라서 $\eqref{eq4}$와 $\eqref{eq5}$에 의해 $$a_{k+1}=a_k=a_{k-1}=\cdots=a_0=0$$ 이 되어 $$조건\eqref{eq1}\Rightarrow a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0$$ 은 성립합니다.

$a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0\Rightarrow$조건$\eqref{eq1}$

$$f(x)=a_nx_n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$ 의 모든 계수 $$a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0=0$$ 이면 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)=0$이므로 $$f(p_1)=f(p_2)=\cdots f(p_{n+1})=0$$ 입니다. 따라서 $$a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0\Rightarrow\ 조건\eqref{eq1}$$ 은 참입니다.

관련문제

2012학년도 평가원 9월 가형 21번

삼차함수 $y=f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f(x)-x=0$이 서로 다른 세 실근 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$를 갖는다.
(나) $x=3$일 때 극값 7을 갖는다.
(다) $f(f(3))=5$

[보기]

ㄱ.  $\alpha$, $\beta$, $\gamma$는 방정식 $f(f(x))-x=0$의 근이다.
ㄴ. $h(x)=x$
ㄷ. $g'(3)=1$

풀이

(이 글의 주제와 관련있는 것은 ㄱ과 ㄴ이므로 ㄷ의 풀이는 생략하겠습니다.)

먼저 조건(가)에 의해 $$\begin{align} &f(\alpha)-\alpha=0\Leftrightarrow f(\alpha)=\alpha\\ &f(\beta)-\beta=0\Leftrightarrow f(\beta)=\beta\\ &f(\gamma)=\gamma=0\Leftrightarrow f(\gamma)=\gamma \end{align}$$ 이므로, $$\begin{align} &f(f(\alpha))-\alpha\\ &=f(\alpha)-\alpha\\ &=0\end{align}$$ 입니다. 같은 방법으로, $$\begin{align} &f(f(\beta))-\beta=0\\ &f(f(\gamma))-\gamma=0\\ \end{align}$$ 이므로 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$는 방정식 $f(f(x))-x=0$의 근입니다. 따라서 ㄱ은 참입니다.

다음으로, 문제에서 $f(f(x))$를 $f(x)-x$로 나눈 몫을 $g(x)$, 나머지를 $h(x)$라 하였으므로 $$f(f(x))=(f(x)-x)g(x)+h(x)\tag{6}\label{eq6}$$ 입니다. 식$\eqref{eq6}$에 $x=\alpha$를 대입하면 $$\begin{align} f(f(\alpha))&=(f(\alpha)-\alpha)g(\alpha)+h(\alpha)\\ &=h(\alpha) (\because f(\alpha)-\alpha=0\ 조건(가))\\ \end{align}$$ 입니다. 그런데 ㄱ에서 $f(f(\alpha))=\alpha$이므로 $h(\alpha)=\alpha$입니다. 마찬가지로, $$h(\beta)=\beta, h(\gamma)=\gamma$$ 이므로 등식 $h(x)=x$는 $x=\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 에서 성립합니다. 문제에서 $f(x)$는 삼차함수이므로 $f(f(x))$를 나누는 식 $f(x)-x$의 차수는 삼차입니다. 그러므로 나머지 $h(x)$는 이차이하의 다항식이 되어 $h(x)=ax^2+bx+c$라고 쓸 수 있습니다. 등식 $$h(x)=x\Leftrightarrow h(x)-x=0$$ 이므로 $$ax^2+(b-1)x+c=0$$ 이고, 이 등식이 세 실수 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 에서 성립하므로 이 등식은 항등식이고, $$a=b-1=c=0$$ 입니다. 따라서 $$\begin{align} h(x)&=ax^2+bx+c\\ &=0\cdot x^2+1\cdot x + 0\\ &=x \end{align}$$ 입니다. 따라서 $h(x)=x$이므로 ㄴ은 참입니다.

관련문제

• 2019학년도 울산대학교 수리 논술 2번