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모순을 찾아라 – 항등식의 기술 (울산대, 2020)

이 글에서는 항등식의 기술이 문제에서 어떻게 사용되는지를 살펴보고자 합니다. 이 문제는 항등식의 기술이 문제가 요구하는 모순을 어떻게 이끌어 낼 수 있는지를 잘 보여주는 문제입니다.

문제

서로의 차가 \(2\)이상인 네 정수 $$p>q>r>s$$가 주어질 때 다음 조건 (가), (나)를 모두 만족하는 계수가 정수인 3차 다항식 \(f(x)\)가 존재할 수 없음을 보이시오. $$\begin{align}
&A=f(p)-f(q), B=f(q)-f(r)\\
&C=f(r)-f(s), D=f(s)-f(p)\\
\end{align}$$라 하면, $$\begin{align}
&\text{(가) } ABCD<0\\
&\text{(나) } |A|,|B|,|C|,|D|\text{ 는 모두 소수}
\end{align}$$

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식의 계산, 정수 , , 7 Comments

항등식의 기술

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$라고 할 때,

서로 다른 \(n+1\)개의 실수 \(p_1,p_2,…,p_{n+1}\)에 대해,  $$\begin{align}
&f(p_1)=f(p_2)=\cdots=f(p_{n+1})=0\\
&\Leftrightarrow f(x)=0 \text{이 }x\text{에 대한 항등식}\end{align}$$

  항등식에 관한 문제를 풀다보면 이 사실을 핵심으로 하는 풀이를 가진 문제를 종종 볼 수 있습니다.  이 글에서는 이 명제를 증명하고, 실제 문제에서 어떻게 이 명제를 사용할 수 있는지 살펴보겠습니다.

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식의 계산 , 2 Comments