\(t=\tan x\)로 치환하면,
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx \to \int dt$$
가 되어 적분하려는 함수가 상수 1이 되어 적분이 아주 간단해 집니다. 이렇게 삼각치환을 하면 적분하려는 함수가 간단해 지는 이유는 무엇일까요? 왜 꼭 굳이 \(t=\tan x\) 로 치환하는 이유는 무엇일까요?이 글에서는 삼각치환의 비밀과 그 뒤에 있는 수학적 배경에 대해 이야기 합니다. (more…)
3변수 대칭식의 인수분해
e 3변수 대칭식이란 3개의 문자를 사용하는 식 \(f(x,y,z)\) 에서 3개의 문자중 어떠한 2개를 바꾸어 대입하여 계산하여도 그 결과가 원래의 식과 동일한 식입니다. 즉 3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족해야 합니다.$$\begin{align}f(x,y,z)&=f(y,x,z)\\&=f(x,z,y)\\&=f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 대칭식의 인수분해는 다음과 같은 중요한 사실을 이용하는 경우가 많습니다.
3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\) 에서 \(x\) 자리에 \(-y\) 를 대입하여 계산한 결과가 0이 되면, 식 \(f(x,y,z)\)는 $$(x+y)(y+z)(z+x)$$를 인수로 갖는다. 즉, $$f(-y,y,z)=0\implies f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)\cdot g(x,y,z) $$ 또한 이 때, \(g(x,y,z)\) 는 대칭식이다.
이 글에서는 이 사실을 증명하고, 이것을 이용한 인수분해 문제를 풀어보겠습니다. (more…)
소소하지만 확실한 테크닉 – (tanx-sinx)의 근사화 (2010년 6월 모의고사 가형 27번)
대부분의 삼각함수의 극한 문제는 삼각함수를 다음과 같이 근사하여 풀 수 있습니다. $$\sin x\approx x,\ \tan x\approx x,\ 1-\cos x\approx\frac{x^2}{2}$$ 하지만 이 근사만으로는 풀 수 없는 문제가 종종 출제 되곤 합니다. 2010년 6월 모의고사 가형 27번이 바로 그러한 경우입니다.
[2010학년도 6월 가형 27번]
$$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}$$의 값은?
이 문제를 기존의 근사법으로 풀 수 없는 이유는 무엇일까요? 그리고 이 문제를 풀기 위해서 \(\tan x\) 와 \(\sin x\)를 어떻게 근사하면 좋을까요? (more…)
2변수 대칭식의 고속계산
$$f(x,y)=f(y,x)$$ 와 같이 두 변수 \(x\) 와 \(y\)를 서로 교환해도 식의 값이 변하지 않는 식을 대칭식이라고 합니다. \(x^n+y^n\)은 대표적인 2변수 대칭식 중 하나로, 그 값을 구하는 문제가 자주 출제 됩니다. 이 식의 값은 다음과 같은 귀납적 관계(점화식)을 이용하면 그 값을 고속으로 계산할 수 있습니다.
$$x^{n+2}+y^{n+2}=(x+y)(x^{n+1}+y^{n+1})-xy(x^n+y^n), n\ge 1\qquad(1)$$
이 글에서는 이 점화식을 사용한 \(x^n+y^n\)의 계산법과 그 응용을 설명합니다. (more…)
역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분
\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,
$$\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin^{-1}x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\cos^{-1}x&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\tan^{-1}x&=\frac{1}{1+x^2}
\end{align}$$
전설의 수학 문제를 찾아서 – 공통근의 함정, 그리고 종결식 (1971, 동경대)
전설의 수학 문제를 찾아서, 4번째 문제는 공통근 문제입니다. 1971년 동경대 입시 문제로 출제된 이 문제는 공통근에 대한 우리의 고정관념을 멋지게 뒤집는 문제입니다.
실수 \(a,\ b\) 에 대하여, 두 이차방정식 $$x^2+ax+b=0,\ ax^2+bx+1=0$$이 있다.
(1) 두 이차방정식이 실수근 \(\lambda\)를 공통으로 가질 때 \(\lambda\)의 값과 \(a+b\)의 값을 구하시오.
(2) 두 이차방정식이 허근을 공통근으로 가질 때 \(a,\ b\)의 값을 구하시오.
이 문제에는 어떠한 함정이 숨겨져 있을까요? 이 함정을 해결할 수 있는 방법은 무엇일까요? 그리고 이 문제의 배경에는 어떠한 수학적 원리가 숨어있을까요? (more…)
역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 적분
\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,
$$\begin{align}\int \sin^{-1}xdx&= x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \cos^{-1}xdx&=x\cos^{-1}x-\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \tan^{-1}xdx&=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C
\end{align}$$
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\