모든 정사각형의 모양은 한가지뿐입니다. 그렇다면 정삼각형의 모양은 모두 몇가지 일까요? 모든 정삼각형의 모양 역시 한가지입니다. 이러한 도형들의 공통점은 무엇일까요? 바로 닮음입니다. 모든 정사각형은 서로 닮음이고, 모든 정삼각형도 서로 닮음입니다. 마찬가지로, 포물선의 모양은 오직 한가지 뿐입니다.
$$\begin{align}
&①.\text{ 모든 포물선은 서로 닮음이다.}\\
&②.\ y=ax^2\text{과 }y=bx^2\text{의 닮음비}=|b|:|a|\end{align}$$
4차함수 \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, 사차 함수의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식은 $$y=R(x)$$
이 글에서는 이 방법의 장점과 원리를 설명합니다. (more…)
포물선의 직선과 서로 다른 2점에서 만날 때 그 두 점을 끝점으로 하는 선분을 포물선의 현이라고 합니다. 특히, 포물선의 초점을 지나는 현은 다음과 같은 성질을 갖고 있습니다.
포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)를 지나는 직선 \(l_1\)이 포물선과 서로 다른 2개의 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 만날 때 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$\text{① : }\mathrm{\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}}=\frac{1}{p}$$
또한 \(l_1\)과 직교하는 직선 \(l_2\)가 같은 포물선과 서로 다른 두 점 \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에서 만날 때 다음과 같은 같은 관계가 성립합니다.$$\begin{align}
&\text{② : }\mathrm{\frac{1}{AF\cdot BF}+\frac{1}{CF\cdot DF}}=\frac{1}{4p^2}\\
&\text{③ : }\mathrm{\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}}=\frac{1}{4p}\\
\end{align}$$
이 글에서는 극좌표를 이용한 이 공식의 증명을 소개합니다.
포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)부터 준선까지의 거리를 \(l\), 포물선위의 한 점 \(\mathrm{P}\)부터 초점 \(\mathrm{F}\) 까지의 거리 \(\mathrm{\overline{PF}}= r\), 직선 \(\mathrm{PF}\)와 \(x\)축의 양의 방향이 이루는 각을 \(\theta\) 라 하면 포물선의 극방정식$$r=\frac{l}{1-\cos\theta}$$
이 글에서는 포물선의 방정식을 극좌표를 사용한 극방정식으로 나타내는 방법과 극방정식을 직각좌표 형식의 방정식으로 바꾸는 방법, 반직현의 개념에 대해 설명합니다. 그리고 포물선의 방정식을 극방정식으로 나타내는 것이 어떠한 장점을 갖는지에 대해 이야기 합니다.
이차함수의 그래프와 두 접선으로 둘러싸인 넓이를 \(\mathcal{A}\), 두 접점을 연결한 직선과 이차함수로 둘러싸인 넓이를 \(\mathcal{B}\) 라 하면,$$A:B=1:2$$ 이 비율에 대한 간단한 증명을 소개합니다.
이차함수와 두 접선으로 둘러 싸인 넓이는 $$\mathcal{A}=\frac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 이 공식에 대한 증명을 설명합니다.
포물선과 직선으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 빠르게 구할 수 있는 고속 적분 공식을 설명합니다.
포물선인 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접할 때, 포물선과 접선, 직선 x=β 로 둘러 싸인 부분의 넓이는 $$\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 예를 들어, \(\alpha<\beta\)일 때, 구하려는 부분의 넓이는$$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|(ax^2+bx+c-(mx+n))\right|dx\\&=\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3\end{align}$$입니다.