테이블 적분법의 원리 및 부분적분법의 귀납적 관계

이 글에서는 테이블 적분법의 원리를 설명합니다. 테이블 적분의 원리는 부분적분의 귀납적 관계를 이용한 것입니다.

\(f(x)\)를 n번 미분한 함수를 $$ f^{(n)}(x) : f^{(0)}(x),\ f^{(1)}(x),\ f^{(2)}(x),\ f^{(3)}(x),…,\ f^{(n)}(x),…$$ \(g(x)\)를 n번 부정적분(적분상수=0)한 함수를 $$g^{(-n)}(x) : g^{(0)}(x),\ g^{(-1)}(x),\ g^{(-2)}(x),\ g^{(-3)}(x),…,\ g^{(-n)}(x),…$$라 하면, $$\begin{align}\int f(x)g(x)dx&=f(x)g^{(-1)}(x)-\int f^{(1)}(x)g^{(-1)}(x)dx\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-\left(f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)-\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\right)\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)+\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\\
&=…\end{align}$$ 입니다. 혹시 이 등식의 패턴이 보이시나요? (more…)

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부분적분을 빠르게 – 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법

이 글에서는 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법에 대해 설명합니다. 예를 들어, $$\int \sin x\cdot e^x dx$$의 테이블 적분은 다음과 같습니다. $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
\sin x&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
\cos x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
-\sin x&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&e^x\\
\end{array}$$$$\int \sin x\cdot e^xdx=+(\sin x\cdot e^x)-(\cos x\cdot e^x)+\bbox[yellow]{\int(-\sin x)\cdot e^x dx}$$

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부분적분을 빠르게 – 다항함수×지수함수 또는 다항함수×삼각함수의 테이블 적분법

도표적분법 또는 표적분법이라고도 알려져 있는 테이블 적분법(tabular integration by parts)은 부분적분법을 빠르게 계산할 수 있는 방법입니다.  예를 들어 \(x^2\cdot e^x\) 의 부정적분 $$\int x^2\cdot e^x dx$$는 다음과 같은 표를 만들어 빠르게 계산할 수 있습니다.

$$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
x^2&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
2x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
2&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}{}\\
0&{}&e^x\end{array}$$

$$\int x^2e^xdx=+(x^2\cdot e^x)-(2x\cdot e^x)+(2\cdot e^x) +C$$ 테이블 적분법은 크게 2가지로 나눌 수 있는데 이 글에서는 첫번째로 다항함수×지수함수나 다항함수×삼각함수 모양을 가진 함수의 테이블 적분법을 예를 들어 설명합니다.

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정답을 부르는 개념 – 부등식을 만족하는 어떤 값

부등식을 만족하는 “어떤 값이 존재한다”라는 조건을 가진 문제는 다음과 같이 최솟값이나 최댓값에 관한 조건을 가진 문제로 바꾸어 풀 수 있습니다. 구체적으로, 다음과 같은 변형이 가능합니다.

\(f(x)\leq a\) 인 어떤 \(x\) 의 값이 존재한다\(\iff f(x)\)의 최솟값\(\leq a\) 이다.
\(f(x)\geq a\) 인 어떤 \(x\) 의 값이 존재한다\(\iff f(x)\)의 최댓값\(\geq a\) 이다.

이렇게 조건을 변형하는 것은 수학 논리에서 매우 중요한 개념 중 하나이기 때문에 이 개념을 이용해서 만들어진 고난도의 문제들이 종종 출제됩니다. 이 글에서는 이러한 변형의 배경과 원리를 알아보고 이를 이용해 문제를 풀어보겠습니다. (more…)

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소소하지만 확실한 테크닉 – 양변적분과 e^(x)sin(x), e^(x)cos(x) 의 부정적분

미적분 문제에서 등식의 양변을 미분하면 새로운 조건을 찾을 수 있을 때가 많습니다. 하지만 등식의 양변을 같이 적분하는 것도 새로운 조건을 찾을 수 있는 방법입니다. 양변을 미분하는 것보다 많이 쓰이지는 않지만 종종 이러한 테크닉을 사용하는 문제들이 있습니다.

$$f(x)=g(x)\implies\int f(x)dx=\int g(x)dx$$

이 글에서는 이 테크닉의 원리를 설명하고 이 테크닉을 활용해 \(e^x\sin{x}\) 와 \(e^x\cos{x}\) 의 부정적분을 간단히 구하는 법을 설명하겠습니다.
$$\begin{align}
\int{e^x\sin{x}}dx&=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}-e^x\cos{x}\right)+C\\
\int{e^x\cos{x}}dx&=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}+e^x\cos{x}\right)+C\end{align}$$ (more…)

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사차 함수와 이중접선으로 둘러싸인 부분의 넓이의 고속적분 – 1/30 공식

4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$

이 글에서는 이 식의 증명을 소개합니다. (more…)

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베타함수와 고속적분

실수 부분이 0보다 큰 복소수 p, q에 대하여 베타함수는 다음과 같이 정의된 함수입니다. .

$$\mathrm B(p,q)=\int_0^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$$특히, 음이 아닌 정수 m, n 에 대하여 다음과 같은 적분식이 성립합니다.
[1] 제1종 오일러 함수 $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$[2] \(\alpha=0\) 이고 \(\beta=1\) 일 때, $$\int_0^{1}x^m(1-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$

이 식은 여러 형태의 넓이를 고속적분하는데 사용합니다. 이 글에서는 이 식의 증명과 활용을 소개합니다. (more…)

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삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 넓이의 고속 적분 -1/12 공식

3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고,  x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는

$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$

이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.

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사차 함수와 이중접선으로 둘러싸인 부분의 넓이의 고속적분 – 1/30 공식

4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$

이 글에서는 이 식의 증명을 소개합니다. (more…)

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역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점

함수 \(f(x)\)와 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)의 그래프가 모두 \((a,b)\)를 지날 때, 다음 문장은 참일까요? 거짓일까요?

[진실?/거짓?] 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(g(x)\)의 모든 교점 \((a,b)\)는 직선 \(y=x\)위에 있다.

이 글에서는 함수와 역함수의 교점에 대해 흔히 빠질 수 있는 논리 함정에 대해 이야기 하고, 함수와 역함수의 교점에 대한 중요한 몇가지 성질들에 대해 이야기 합니다. (more…)

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그래프의 확대 및 축소 변환

\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$

\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$

그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.

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삼차함수의 접선의 개수

좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.

이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.

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사차함수의 이중접선과 변곡점의 관계

이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 놀랍게도 변곡점을 갖는 모든 사차함수는 이중접선을 갖고 있습니다. 반대로 이중접선을 갖는 사차함수는 변곡점을 갖고 있습니다. 즉, 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 이중접선을 가질 조건은 함수 \(f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건과 같습니다. 즉, 

$$\begin{align}&\text{변곡점을 갖는 사차함수}\\
&\Leftrightarrow\text{이중접선을 갖는 사차함수}\end{align}$$

이고, \(f(x)\)의 그래프가 이중접선을 갖기 위한 조건은

$$3b^2-8ac>0$$

입니다. 그리고 이 때, 이중접선의 방정식은

$$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$

입니다. 이 글에서는 이 조건을 증명하고, 이중접선의 방정식을 유도합니다.

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전설의 수학 문제를 찾아서 – 3인의 죄수

전설의 수학 문제를 찾아서, 3번째 문제는 3인의 죄수 문제입니다. 이 문제 역시 전설의 수학 문제 #1과 #2와 같은 조건부 확률 문제입니다. 서벨로니 (Serbelloni) 문제라고도 알려진 이 문제는 1966년 여름 서벨로니 별장에서 열린 이론 생물학회에서 화제가 된 문제입니다.

A, B, C 3명의 죄수가 있습니다. 3명의 죄수 중에서 곧 2명이 처형이 될 예정이고, 3인의 죄수 모두가 이 사실을 알고 있습니다. 하지만 처형이 될 죄수 2명의 이름은 간수만 알고 있습니다. 어느 날 죄수A는 간수에게 죄수B와 C 2명 중에서 적어도 1명이 처형되는 것은 확실하니 B나 C중 누가 처형이 되는지 한 사람의 이름을 말해달라고 부탁했습니다. 이 때 간수는 B가 처형이 될 것이라고 대답해 주었습니다.

이 말을 들은 죄수 A는 자신이 처형될 확률이 낮아졌다고 무척 기뻐했습니다. 대답을 듣기 전 자신이 처형될 확률은 \(\frac{2}{3}\approx 66.7\%\) 였지만 대답을 듣고 난 후 뒤에는 B와 같이 처형될 죄수는 자신이 아니면 C이므로 앞으로 자신이 처형될 확률이 \(\frac{1}{2}=50\%\) 가 되어 자신이 처형될 확률이 간수의 대답을 듣기 전보다 낮아졌다고 생각했기 때문입니다. 간수가 거짓말을 하지 않는다면 과연 죄수의 판단은 옳은 것일까요?

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