4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$
이 글에서는 이 식의 증명을 소개합니다. (more…)
실수 부분이 0보다 큰 복소수 p, q에 대하여 베타함수는 다음과 같이 정의된 함수입니다. .
$$\mathrm B(p,q)=\int_0^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$$특히, 음이 아닌 정수 m, n 에 대하여 다음과 같은 적분식이 성립합니다.
[1] 제1종 오일러 함수 $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$[2] \(\alpha=0\) 이고 \(\beta=1\) 일 때, $$\int_0^{1}x^m(1-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$
이 식은 여러 형태의 넓이를 고속적분하는데 사용합니다. 이 글에서는 이 식의 증명과 활용을 소개합니다. (more…)