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e 3변수 대칭식이란 3개의 문자를 사용하는 식 \(f(x,y,z)\) 에서 3개의 문자중 어떠한 2개를 바꾸어 대입하여 계산하여도 그 결과가 원래의 식과 동일한 식입니다. 즉 3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족해야 합니다.$$\begin{align}f(x,y,z)&=f(y,x,z)\\&=f(x,z,y)\\&=f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 대칭식의 인수분해는 다음과 같은 중요한 사실을 이용하는 경우가 많습니다.

3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\) 에서 \(x\) 자리에 \(-y\) 를 대입하여 계산한 결과가 0이 되면,  식 \(f(x,y,z)\)는 $$(x+y)(y+z)(z+x)$$를 인수로 갖는다. 즉, $$f(-y,y,z)=0\implies f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)\cdot g(x,y,z) $$ 또한 이 때, \(g(x,y,z)\) 는 대칭식이다.

이 글에서는 이 사실을 증명하고, 이것을 이용한 인수분해 문제를 풀어보겠습니다.

증명

\(f(-y,y,z)=0\) 일때 \((x+y)(y+z)(z+x)\) 를 인수로 가지는 이유

\(x\) 자리에 \(-y\)를 넣어 0이 될 때 \((x+y)(y+z)(z+x)\)를 인수로 갖는 다는 사실은 인수정리와 대칭식의 성질을 사용하여 증명할 수 있습니다.

먼저 \(x\) 자리에 \(-y\) 를 대입한 식 $$f(-y,y,z)=0$$이라면 인수정리에 의해 \(f(x,y,z)\)는 $$x-(-y)=x+y$$를 인수로 갖습니다. 한편, $$f(-y,y,z)=0\implies f(-z,z,x)=0$$이고, 대칭식의 성질에 의해 문자의 순서를 바꾸어도 그 값은 변하지 않으므로 $$f(-z,z,x)=f(x,-z,z)=0$$ 이 됩니다. 이것은 \(y\) 자리에 \(-z\) 를 대입하여 0이 된 것으로 해석할 수 있으므로 인수정리에 의해 \(f(x,y,z)\)는 $$y-(-z)=y+z$$를 인수로 갖는다고 할 수 있습니다. 같은 방법으로 \(z+x\) 도 \(f(x,y,z)\) 의 인수가 되는 것을 보일 수 있습니다.

\(g(x,y,z)\)가 대칭식인 이유

대칭식과 교대식의 관계(→대칭식과 교대식의 관계)에 의하면,

 대칭식×대칭식=대칭식

한편, 식\(\eqref{eq1}\)에서 양변의 차수는 같아야 합니다.  \((x+y)(y+z)(z+x)\)가 3차식이므로 $$g(x,y,z)\text{의 차수}=f(x,y,z)\text{의 차수}-3$$이 되어야 합니다. 예를 들어 특히,  \(f(x,y,z)\)가 3차식이나 4차식일 때 \(g(x,y,z)\)는 상수 또는 일차식이 되어야 합니다. 따라서 $$g(x,y,z)=
\begin{cases}
k, & \text{$f(x,y,z)$가 3차식일때}\\
k(x+y+z) & \text{$f(x,y,z)$가 4차식일때}
\end{cases}$$

\((x+y)(y+z)(z+x)\)를 인수로 가질 때 인수분해 순서

3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\)가 \((x+y)(y+z)(z+x)\) 를 인수로 가질 때 인수분해 순서는 대략 다음과 같습니다.

1. 대칭식임을 확인
2. \(x\) 자리에 \(-y\)를 넣어 0이 되는 것을 확인
3. 주어진 식을 \((x+y)(y+z)(z+x)g(x,y,z)\) 로 놓기
4. \(f(x,y,z)\) 의 차수에 따라 \(g(x,y,z)\) 의 모양을 정하고, 특정한 항의 계수를 비교하거나 미정계수법으로 \(g(x,y,z)\)를 정하기

실제 인수분해 2문제를 예를 들어 설명하겠습니다.

[문제1]

다음 식을 인수분해 하시오.

$$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$$

[문제1]의 풀이

STEP 1 : 대칭식 확인

$$f(x,y,z)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$$라 하면, \(x\) 와 \(y\)를 서로 교환한 $$\begin{align}f(y,x,z)&=(y+x+z)(yx+xz+zy)-yxz\\&=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\\&=f(x,y,z)\end{align}$$이므로 식 \(f(x,y,z)\)는 대칭식입니다.

STEP 2 : \(x\) 자리에 \(-y\) 대입

이제 인수분해가 가능한지 \(x\) 자리에 \(-y\)를 대입해 보겠습니다. $$\begin{align}f(x,-y,z)&=(-y+y+z)(-y^2+yz-yz)-(-y)yz\\&=-zy^2+y^2z=0\end{align}$$ 이므로 이식은 $$(x+y)(y+z)(z+x)$$를 인수로 갖습니다. 따라서 $$\begin{align}f(x,y,z)&=(x+y+z)(xy+zy+zx)-xyz\\&=(x+y)(y+z)(z+x)g(x,y,z)\end{align}$$라 할 수 있습니다

STEP 3 : \(g(x,y,z)\) 의 모양을 정하기

한편, \(f(x,y,z)\)가 3차식이므로 \(g(x,y,z)\) 는 상수 \(k\) 가 되어야 합니다. 따라서 $$\begin{align}f(x,y,z)&=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\\&=(x+y)(y+z)(z+x)g(x,y,z)\\&=k(x+y)(y+z)(z+x)\tag{2}\label{eq2}\end{align}$$ 으로 둘 수 있습니다.

먼저 \(k\) 를 계수비교법으로 구해보겠습니다. \(f(x,y,z)\) 에서 \(x^2y\) 의 계수는 1이므로,  \(x^2y\)의 계수도 1이 되어야 합니다. \(k(x+y)(y+z)(z+x)\)에서 \(x^2y\)의 계수가 이미 \(k\)이므로 \(k=1\) 이 되어야 합니다.

이번에는 \(k\) 를 수치대입법으로 구해보겠습니다. 식\(\eqref{eq2}\)에 의해 $$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=k(x+y)(y+z)(z+x)$$입니다. 이 식은 항등식이므로 양변에 $$x=y=z=1$$을 대입하면 $$(1+1)(1+1)(1+1)-1\cdot 1\cdot 1=k(1+1)(1+1)(1+1)$$$$8=8k,\ \therefore k=1$$

따라서 $$\begin{align}&(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\\&=(x+y)(y+z)(z+x)\cdot 1\\&=(x+y)(y+z)(z+x)\tag{3}\label{eq3} \end{align}$$

보조문제 : \((x+y)(y+z)(z+x)+xyz\) 의 인수분해

식\(\eqref{eq3}\)의 좌변에서 \(-xyz\)를 우변으로 이항하면 $$(x+y+z)(xy+yz+zx)=(x+y)(y+z)(z+x)+xyz$$ 가 됩니다. 이 식의 좌변과 우변을 바꾸어 쓰면 $$(x+y)(y+z)(z+x)+xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)$$로 인수분해 된다는 것을 알 수 있습니다.

[문제2]

다음 식을 인수분해 하시오.

$$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$$

STEP 1 : 대칭식 확인

$$f(x,y,z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$$라 하면, \(x\) 와 \(y\)를 서로 교환한 $$\begin{align}f(y,x,z)&=(y+x+z)^3-y^3-x^3-z^3\\&=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3\\&=f(x,y,z)\end{align}$$이므로 식 \(f(x,y,z)\)는 대칭식입니다.

STEP 2 : \(x\) 자리에 \(-y\) 대입

$$\begin{align}f(x,-y,z)&=(-y+y+z)^3-(-y)^3-y^3-z^3\\&=z^3-z^3=0\end{align}$$ 이므로 식 \(f(x,y,z)\)는 $$(x+y)(y+z)(z+x)$$를 인수로 갖습니다. 따라서 $$\begin{align}f(x,y,z)&=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3\\&=(x+y)(y+z)(z+x)g(x,y,z)\tag{4}\label{eq4}\end{align}$$라 둘 수 있습니다

STEP 3 : \(g(x,y,z)\) 의 모양을 정하기

한편, \(f(x,y,z)\)는 3차식이므로 \(g(x,y,z)\)는 상수 \(k\) 가 되어야 합니다.

먼저 \계수비교법으로 구해보겠습니다. \(f(x,y,z)\) 에서 \(x^2y\) 의 계수는 1이므로,  \(x^2y\)의 계수도 1이 되어야 합니다. \(k(x+y)(y+z)(z+x)\)에서 \(x^2y\)의 계수가 이미 \(k\)이므로 \(k=1\) 이 되어야 합니다.

먼저 계수비교법으로 \(k\)의 값을 구해보겠습니다. \(f(x,y,z)\)에서 \(x^2y\) 의 계수는 3입니다. 그런데 $$k(x+y)(y+z)(z+x)$$에서는 \(x^2y\)의 계수가 \(k\) 입니다. 두 계수가 서로 같아야 하므로 $$k=3$$ 이 되어야 합니다.

이번에는 \(k\) 를 수치대입법으로 구해보겠습니다. 식\(\eqref{eq4}\)에 의해 $$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=k(x+y)(y+z)(z+x)$$입니다. 이 식은 항등식이므로 양변에 $$x=y=z=1$$을 대입하면 $$(1+1+1)^3-1^3-1^3-1^3=k(1+1)(1+1)(1+1)$$$$24=8k,\ \therefore k=3$$

따라서 $$\begin{align}&(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3\\&=(x+y)(y+z)(z+x)\cdot 3\\&=3(x+y)(y+z)(z+x)\tag{5}\label{eq5}\end{align}$$로 인수분해가 됩니다.

보조문제 : \(x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\) 의 인수분해

식\(\eqref{eq5}\)의 좌변에서 \(-x^3-y^3-z^3\)을 우변으로 이항하면 $$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$$ 를 얻을 수 있습니다. 이 결과의 좌변과 우변을 바꾸어 쓰면 $$x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)^3$$로 인수분해 됩니다.