이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 놀랍게도 변곡점을 갖는 모든 사차함수는 이중접선을 갖고 있습니다. 반대로 이중접선을 갖는 사차함수는 변곡점을 갖고 있습니다. 즉, 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 이중접선을 가질 조건은 함수 \(f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건과 같습니다. 즉,
$$\begin{align}&\text{변곡점을 갖는 사차함수}\\
&\Leftrightarrow\text{이중접선을 갖는 사차함수}\end{align}$$
$$3b^2-8ac>0$$
입니다. 그리고 이 때, 이중접선의 방정식은$$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$
입니다. 이 글에서는 이 조건을 증명하고, 이중접선의 방정식을 유도합니다.사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)의 그래프가 두 개의 변곡점을 가질 조건은
$$3b^2-8ac>0$$
이고, 두 변곡점의 \(x\)좌표는$$\frac{-3b\pm\sqrt{3(3b^2-8bc)}}{12a}$$
입니다. 이 글에서는 이 조건의 원리를 알아보고 변곡점을 갖고 있는 사차함수 그래프의 모양을 살펴봅니다.
사차함수 \(f(x)\)의 그래프가 두 개의 변곡점을 갖고 있을 때, \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 이계도 함수 \(f^{\prime\prime}(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, 사차함수 \(f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식은 $$y=R(x)$$
삼차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 \(x=\alpha\), \(x=\beta\) 에서 각각 극댓값과 극솟값 \(f(\alpha)\) \(f(\beta)\)를 갖고 변곡점의 좌표가 \((m, f(m))\) 일 때, 두 극값의 합 \(f(\alpha)+f(\beta)\)는 다음과 같습니다.
$$f(\alpha)+f(\beta)=2f(m)=2f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$
이 식을 사용하면 극값의 합과 관계된 문제에서 복잡한 계산을 많이 줄일 수 있습니다. 이 글에서는 두 극값의 합이 변곡점과 어떤 관계를 갖고 있는지 설명합니다.3차함수의 두 극점을 지나는 직선은 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.
(1) 3차함수의 두 극점을 지나는 직선은 언제나 3차함수의 변곡점을 지난다.
(2) 두 극점을 지나는 직선의 기울기=변곡점에서의 접선의 기울기\(\times\dfrac{2}{3}\)
이 글에서는 3차함수의 두 극점을 지나는 직선의 성질을 증명하고, 이 성질을 사용한 해법을 생각해봅니다.
삼차함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프는 다음과 같은 대칭성을 가지고 있습니다.
대칭성① : 삼차함수의 그래프는 변곡점 \(\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)\)에 대해 점대칭이다.
대칭성② : 삼차함수의 그래프는 합동인 \(8\)개의 평행사변형으로 분할할 수 있다.(\(4\)등분 법칙)
이 글에서는 삼차함수 그래프의 대칭성을 증명하고, 이 대칭성을 활용하는 법에 대해 이야기 합니다.