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이차함수와 두 접선으로 둘러 싸인 넓이는 $$\mathcal{A}=\frac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 이 공식에 대한 증명을 설명합니다.

증명에 필요한 개념

이차함수의 그래프와 두 직선으로 둘러싸인 넓이의 고속적분→1/3 공식

이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접할 때, 포물선과 접선, 직선 x=β 로 둘러 싸인 부분의 넓이는 $$\begin{equation}\begin{aligned}&\left|\int_{\alpha}^{\beta}(ax^2+bx+c-(mx+n))dx\right|\\&=\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3\end{aligned}\end{equation}$$

이차함수의 두 접선이 만나는 점의 x좌표→이차함수의 두 접선이 만나는 점

이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 의 두 접점 \((\alpha, f(\alpha)\), \((\beta, f(\beta))\) 에서 그은 두 접선이 만나는 점의 좌표는 $$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\right)$$ 이다.

증명

먼저 이차함수의 그래프와 두 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 \(x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\)을 기준으로 다음 그림과 같이 ①과 ②로 나누어줍니다.

①의 넓이

①의 넓이는 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 와 \((\alpha, f(\alpha))\) 에서의 접선, \(x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\) 로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 1/3 공식을 사용하여 그 넓이를 계산할 수 있습니다.

$$\begin{align}\frac{|a|}{3}\left|\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\right|^3&=\frac{|a|}{3}\left|\frac{\beta-\alpha}{2}\right|^3\\&=\frac{|a|}{24}|\beta-\alpha|^3\end{align}$$

②의 넓이

②의 넓이는 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 와 \((\beta, f(\beta))\) 에서의 접선, \(x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\) 로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 ①의 넓이와 마찬가지로 1/3 공식을 사용하여 넓이를 계산할 수 있습니다.

$$\begin{align}\frac{|a|}{3}\left|\beta-\frac{\alpha+\beta}{2}\right|^3&=\frac{|a|}{3}\left|\frac{\beta-\alpha}{2}\right|^3\\&=\frac{|a|}{24}|\beta-\alpha|^3\end{align}$$

전체 넓이

따라서 이차 함수와 두 접선으로 둘러싸인 넓이$$\begin{align}①+②&=\frac{|a|}{24}|\beta-\alpha|^3+\frac{|a|}{24}|\beta-\alpha|^3\\&=\frac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3\end{align}$$