이 글에서는 secx와 cscx의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
∫f′(x)f(x)dx=ln|f(x)|+C
첫 번째 방법
∫secxdx
secx=secx×secx+tanxsecx+tanx=secx(secx+tanx)secx+tanx=sec2x+secxtanxsecx+tanx
입니다. 그런데(secx+tanx)′=secxtanx+sec2x
이므로 (2)를 (1)에 대입하면 sec2x+secxtanxsecx+tanx=(secx+tanx)′secx+tanx
가 됩니다. 따라서,∫secxdx=∫(secx+tanx)′secx+tanxdx=ln|secx+tanx|+C
∫cscxdx
secx의 적분과 마찬가지로, cscx=cscx×cscx+cotxcscx+cotx=cscx(cscx+cotx)cscx+cotx=csc2x+cscxcotxcscx+cotx
입니다. 그런데(cscx+cotx)′=−(cscxcotx+csc2x)
이므로 (4)를 (3)에 대입하면 csc2x+cscxcotxcscx+cotx=−(cscx+cotx)′cscx+cotx
가 됩니다. 따라서,∫cscxdx=∫−(cscx+cotx)′cscx+cotxdx=−ln|cscx+cotx|+C
두 번째 방법
∫secxdx
secx=1cosx=cosxcos2x=cosx1−sin2x=cosx(1−sinx)(1+sinx)
입니다. 이 결과를 부분분수로 분해하면cosx(1−sinx)(1+sinx)=12(cosx1−sinx+cosx1+sinx)
가 됩니다. 한편, (1−sinx)′=−cosx(1+sinx)′=cosx
이므로 식(5)는 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다. 12(cosx1−sinx+cosx1+sinx)=12(−(1−sinx)′1−sinx+(1+sinx)′1+sinx)
따라서, ∫secxdx=∫1cosxdx=∫12(cosx1−sinx+cosx1+sinx)dx=∫12(−(1−sinx)′1−sinx+(1+sinx)′1+sinx)dx=12(−ln|1−sinx|+ln|1+sinx|)=12ln|1+sinx1−sinx|=12ln(1+sinx1−sinx)
∫cscxdx
cscx 의 적분도 secx의 적분과 거의 같은 방법을 사용합니다. cscx=1sinx=sinxsin2x=sinx1−cos2x=sinx(1−cosx)(1+cosx)
입니다. 이 결과를 부분분수로 분해하면sinx(1−cosx)(1+cosx)=12(sinx1−cosx+sinx1+cosx)
가 됩니다. 한편, (1−cosx)′=sinx(1+cosx)′=−sinx
이므로, 식(6) 은 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다. 12(sinx1−cosx+sinx1+cosx)=12((1−cosx)′1−cosx+−(1+cosx)′1+cosx)
따라서, ∫cscxdx=∫1sinxdx=∫12(sinx1−cosx+sinx1+cosx)dx=∫12((1−cosx)′1−cosx+−(1+cosx)′1+cosx)dx=12(ln|1−cosx|−ln|1+cosx|)=12ln|1−cosx1+cosx|=12ln(1−cosx1+cosx)
세 번째 방법
Weierstrass 치환 (또는 탄젠트 반각 치환)을 사용할 수도 있습니다. ∫secxdx=ln|1+tanx21−tanx2|+C∫cscxdx=ln|tanx2|+C
가 됩니다.
thank you
두번 째 방법 오류 있는 것 같습니다. 확인 부탁드립니다.
부분 분수 식(5)번이 오류 맞나요?
미적분 공부하는 고딩입니다 진짜 도움 많이 되었습니다 특히 3번째 방법 쩌네요.. 원리도 알고 싶지만.. 문제 풀이를 위한 암기에서 그치게 되는데 아쉽네요..