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이 글에서는 $\sec x$와 $\csc x$의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$

첫 번째 방법

$\int\sec xdx$

$$\begin{align}\sec x&=\sec x \times \frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}\\&=\frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\\ &=\frac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$ 입니다. 그런데 $$(\sec x+\tan x)’=\sec x \tan x + \sec^2x\tag{2}\label{eq2}$$ 이므로 $\eqref{eq2}$를 $\eqref{eq1}$에 대입하면 $$\frac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}=\frac{(\sec x+\tan x)’}{\sec x+\tan x}$$ 가 됩니다. 따라서, $$\begin{align}&\int\sec xdx\\&=\int \frac{(\sec x+\tan x)’}{\sec x+\tan x}dx\\&=\ln\left|\sec x + \tan x\right|+C\end{align}$$

$\int\csc xdx$

$\sec x$의 적분과 마찬가지로,

$$\begin{align}\csc x&=\csc x \times \frac{\csc x+\cot x}{\csc x+\cot x}\\&=\frac{\csc x(\csc x+\cot x)}{\csc x+\cot x}\\ &=\frac{\csc^2 x+\csc x\cot x}{\csc x+\cot x}\end{align}\tag{3}\label{eq3}$$ 입니다. 그런데 $$(\csc x+\cot x)’=-(\csc x \cot x + \csc^2x)\tag{4}\label{eq4}$$ 이므로 $\eqref{eq4}$를 $\eqref{eq3}$에 대입하면 $$\frac{\csc^2 x+\csc x\cot x}{\csc x+\cot x}=-\frac{(\csc x+\cot x)’}{\csc x+\cot x}$$ 가 됩니다. 따라서, $$\begin{align}&\int\csc xdx\\&=\int -\frac{(\csc x+\cot x)’}{\csc x+\cot x}dx\\&=-\ln\left|\csc x + \cot x\right|+C\end{align}$$

두 번째 방법

$\int\sec xdx$

$$\begin{align}\sec x&=\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos^2x}\\&=\frac{\cos x}{1-\sin^2x}\\&=\frac{\cos x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\end{align}$$ 입니다. 이 결과를 부분분수로 분해하면 $$\begin{align}&\frac{\cos x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\tag{5}\label{eq5}\end{align}$$ 가 됩니다. 한편, $$\begin{align}&(1-\sin x)’=-\cos x\\&(1+\sin x)’=\cos x\end{align}$$ 이므로 식$\eqref{eq5}$는 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다. $$\begin{align}&\frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{-(1-\sin x)’}{1-\sin x}+\frac{(1+\sin x)’}{1+\sin x}\right)\end{align}$$ 따라서, $$\begin{align}&\int \sec x dx\\ &=\int \frac{1}{\cos x}dx\\ &=\int \frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)dx\\ &=\int \frac{1}{2}\left(\frac{-(1-\sin x)’}{1-\sin x}+\frac{(1+\sin x)’}{1+\sin x}\right)dx\\ &=\frac{1}{2}(-\ln|1-\sin x|+\ln|1+\sin x|)\\ &=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|\\ &=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)\end{align}$$

$\int\csc xdx$

$\csc x$ 의 적분도 $\sec x$의 적분과 거의 같은 방법을 사용합니다.

$$\begin{align}\csc x&=\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x}{\sin^2x}\\&=\frac{\sin x}{1-\cos^2x}\\&=\frac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\end{align}$$ 입니다. 이 결과를 부분분수로 분해하면 $$\begin{align}&\frac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)\tag{6}\label{eq6}\end{align}$$ 가 됩니다. 한편, $$\begin{align}&(1-\cos x)’=\sin x\\&(1+\cos x)’=-\sin x\end{align}$$ 이므로, 식$\eqref{eq6}$ 은 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다. $$\begin{align}&\frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{(1-\cos x)’}{1-\cos x}+\frac{-(1+\cos x)’}{1+\cos x}\right)\end{align}$$ 따라서, $$\begin{align}&\int \csc x dx\\ &=\int \frac{1}{\sin x}dx\\ &=\int \frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)dx\\ &=\int \frac{1}{2}\left(\frac{(1-\cos x)’}{1-\cos x}+\frac{-(1+\cos x)’}{1+\cos x}\right)dx\\ &=\frac{1}{2}(\ln|1-\cos x|-\ln|1+\cos x|)\\ &=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|\\ &=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)\end{align}$$

세 번째 방법

Weierstrass 치환 (또는 탄젠트 반각 치환)을 사용할 수도 있습니다. 

$$\begin{equation}\begin{aligned}\int \sec xdx&=\ln\left|\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right|+C\\\int \csc x dx&=\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C\end{aligned}\end{equation}$$ 가 됩니다.