삼각함수 sec(x), csc(x) 의 3가지 적분 방법

이 글에서는 secxcscx의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.

f(x)f(x)dx=ln|f(x)|+C

첫 번째 방법

secxdx

secx=secx×secx+tanxsecx+tanx=secx(secx+tanx)secx+tanx=sec2x+secxtanxsecx+tanx

입니다. 그런데(secx+tanx)=secxtanx+sec2x
이므로 (2)(1)에 대입하면 sec2x+secxtanxsecx+tanx=(secx+tanx)secx+tanx
가 됩니다. 따라서,secxdx=(secx+tanx)secx+tanxdx=ln|secx+tanx|+C

cscxdx

secx의 적분과 마찬가지로, cscx=cscx×cscx+cotxcscx+cotx=cscx(cscx+cotx)cscx+cotx=csc2x+cscxcotxcscx+cotx

입니다. 그런데(cscx+cotx)=(cscxcotx+csc2x)
이므로 (4)(3)에 대입하면 csc2x+cscxcotxcscx+cotx=(cscx+cotx)cscx+cotx
가 됩니다. 따라서,cscxdx=(cscx+cotx)cscx+cotxdx=ln|cscx+cotx|+C

두 번째 방법

secxdx

secx=1cosx=cosxcos2x=cosx1sin2x=cosx(1sinx)(1+sinx)

입니다. 이 결과를 부분분수로 분해하면cosx(1sinx)(1+sinx)=12(cosx1sinx+cosx1+sinx)
가 됩니다. 한편, (1sinx)=cosx(1+sinx)=cosx
이므로 식(5)는 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다. 12(cosx1sinx+cosx1+sinx)=12((1sinx)1sinx+(1+sinx)1+sinx)
따라서, secxdx=1cosxdx=12(cosx1sinx+cosx1+sinx)dx=12((1sinx)1sinx+(1+sinx)1+sinx)dx=12(ln|1sinx|+ln|1+sinx|)=12ln|1+sinx1sinx|=12ln(1+sinx1sinx)

cscxdx

cscx 의 적분도 secx의 적분과 거의 같은 방법을 사용합니다. cscx=1sinx=sinxsin2x=sinx1cos2x=sinx(1cosx)(1+cosx)

입니다. 이 결과를 부분분수로 분해하면sinx(1cosx)(1+cosx)=12(sinx1cosx+sinx1+cosx)
가 됩니다. 한편, (1cosx)=sinx(1+cosx)=sinx
이므로, 식(6) 은 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다. 12(sinx1cosx+sinx1+cosx)=12((1cosx)1cosx+(1+cosx)1+cosx)
따라서, cscxdx=1sinxdx=12(sinx1cosx+sinx1+cosx)dx=12((1cosx)1cosx+(1+cosx)1+cosx)dx=12(ln|1cosx|ln|1+cosx|)=12ln|1cosx1+cosx|=12ln(1cosx1+cosx)

세 번째 방법

Weierstrass 치환 (또는 탄젠트 반각 치환)을 사용할 수도 있습니다.  secxdx=ln|1+tanx21tanx2|+Ccscxdx=ln|tanx2|+C

가 됩니다.

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dfsdfasfjsahajkfhdkj
3 years ago

thank you

ㅂㄹㅈㄷㅈㅂㄹ
3 years ago

두번 째 방법 오류 있는 것 같습니다. 확인 부탁드립니다.

ㅁㄴㅇㄹㄹ
1 year ago

부분 분수 식(5)번이 오류 맞나요?

ㅅㄱㅁ
1 year ago

미적분 공부하는 고딩입니다 진짜 도움 많이 되었습니다 특히 3번째 방법 쩌네요.. 원리도 알고 싶지만.. 문제 풀이를 위한 암기에서 그치게 되는데 아쉽네요..