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대부분의 삼각함수의 극한 문제는 삼각함수를 다음과 같이 근사하여 풀 수 있습니다.  $$\sin x\approx x,\ \tan x\approx x,\ 1-\cos x\approx\frac{x^2}{2}$$ 하지만 이 근사만으로는 풀 수 없는 문제가 종종 출제 되곤 합니다. 2010년 6월 모의고사 가형 27번이 바로 그러한 경우입니다.

[2010학년도 6월 가형 27번]
$$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}$$의 값은?

이 문제를 기존의 근사법으로 풀 수 없는 이유는 무엇일까요? 그리고 이 문제를 풀기 위해서 \(\tan x\) 와 \(\sin x\)를 어떻게 근사하면 좋을까요?

기존 근사의 문제점

\(\sin{x}\approx x,\ \tan{x}\approx x\)로 근사하면 $$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-x}-e^{1-x}}{x-x}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{0-0}{0-0}}$$이 되어 올바른 답을 계산할 수 없습니다. 기존 근사로는 \(\tan x – \sin x\)를 어떻게 하더라도 분모가 0이 되어버리기 때문이죠.

\(\tan x-\sin x\) 의 근사법

이럴 때는 $$\tan x=x+h,\ \sin x=x,\ h\to 0$$ 으로 근사하면 문제에서 요구하는 극한값을 계산할 수 있습니다. 이 근사를 사용하면, $$\begin{align}\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}&=\lim\limits_{x \to 0,\ h \to 0}\frac{e^{1-x}-e^{1-x-h}}{(x+h)-x}\\&=\lim\limits_{x \to 0,\ h \to 0}\frac{e^{1-x}(1-e^{-h})}{h}\\&=\lim\limits_{x \to 0}e^{1-x}\cdot\lim\limits_{h \to 0}\frac{e^{-h}-1}{-h}\\&=e\cdot 1=e\end{align}$$를 얻을 수 있습니다.

근사의 원리

두 함수 \(y=\sin x,\ y=\tan x\) 의 그래프를 보면 이 근사의 원리를 분명히 알 수 있습니다. 두 함수의 그래프 모두 모두 x=0 근처에서 $$y=x$$의 그래프로 근사화할 수 있지만 (두 함수 모두 x=0에서 접선의 방정식이 \(y=x\) 가 됩니다.) x>0 일 때, $$\tan x > \sin x$$ 이고, x<0 일때는 $$\tan x < \sin x $$ 인 것을 알 수 있습니다. 따라서 x=0 근처에서 두 함수의 차 $$\tan x-\sin x = h,\ h\to 0$$$$\therefore \tan x=\sin x +h,\ h\to 0$$이라고 둘 수 있습니다. 실제로 두 함수의 차를 알아보기 위해 함수 \(y=\tan x-\sin x\) 의 그래프를 그려보면 x=0 근처에서 두 함수의 차가 0으로 수렴하는 것을 알 수 있습니다.