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\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$

\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$

그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.

함수의 그래프를 변환(또는 이동)하는 방법은 고등학교 1학년 “도형의 이동” 단원에서 다루고 있습니다. 이 단원에서는 평행이동과 원점, \(x\)축, \(y\)축, 직선 \(y=x\) 에 대한) 대칭이동만을 다루고 있지만 확대변환을 익혀두면 많은 도움이 됩니다.

주의할 점

일상에서는 확대와 축소를 별개의 단어로 구별하고 있지만 수학에서는 이 둘을 다른 개념으로 구별하고 있지 않고, 확대라는 하나의 단어만을 사용하고, 척도 인자 또는 스케일 팩터 (scale factor) 라고 부르는 값을 사용하여 변환의 정도를 표현합니다. (이것은 평행이동도 마찬가지입니다. 평행이동은 왼쪽으로의 평행이동, 오른쪽으로의 평행이동과 같이 \(2\)개의 개별적인 평행이동이 존재하는 것은 아닙니다. 오직 \(x\)축 방향으로, \(p\) 만큼의 평행이동만이 있을 뿐입니다.) 

예를 들어, 영어에서는 오로지 “stretching with a scale factor of p”라는 표현으로 하나의 단어 “stretching” 만으로 확대 변환을 표현합니다.

그렇다면 변환을 하고 난 뒤, 원래의 그래프가 확대되었는지, 축소되었는지는 어떻게 알 수 있을 까요? 이것은 척도인자 \(p\)의 값에 따라 구별합니다. 만약 척도인자 \(p=1\)이라면, 변환된 함수의 그래프는 원래 그래프와 합동이 됩니다. 만약 \(p\)의 값이 \(1\)보다 작은 양수이면 변환된 그래프의 모습은 원래의 그래프가 축소된 (또는 압축된) 형태가 됩니다. 만약 척도인자 \(p\)의 값이 \(1\)보다 크면 변환된 그래프의 모습은 원래의 그래프가 확대된 형태가 됩니다. 즉, \(p\)배 확대 변환의 결과는 다음과 같습니다. $$\begin{cases}
\begin{align}
0<p<1&\text{, 축소}\\
p=1 & \text{, 합동}\\
p>1 &\text{, 확대}\\
\end{align}
\end{cases}$$ 

증명

확대 변환을 증명하는 것은 평행이동이나 대칭이동을 증명하는 것과 크게 다르지 않습니다. 함수 \(y=f(x)\) 그래프가 점 \((a,b)\)를 지나면 $$b=f(a)\tag{1}\label{eq1}$$입니다.

\(y\)축 방향으로의 \(p\) 배 확대 변환

점\((a,b)\)를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 (\(p>0\)) 확대 변환한 점의 좌표를 \((x,y)\)라 하면, $$\begin{align}x&=a\\y&=pb\end{align}$$ 입니다. 따라서 $$\begin{align}
a&=x\\
b&=\frac{1}{p}y
\end{align}$$ 이고 이 결과를 식 \(\eqref{eq1}\)에 대입하면, $$b=f(a)\xrightarrow{b=\frac{1}{p}y,\ a=x}\frac{1}{p}y=f(x)$$$$\therefore y=pf(x)$$를 얻습니다. 이 변환에서 척도인자는 \(p\)입니다.

\(x\)축 방향으로의 \(\dfrac{1}{q}\)배 확대 변환

점\((a,b)\)를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 (\(q>0\)) 확대 변환한 점의 좌표를 \((x,y)\)라 하면, $$\begin{align}x&=\frac{1}{q}a\\y&=b\end{align}$$ 입니다. 따라서 $$\begin{align}
a&=qx\\
b&=y
\end{align}$$ 이고 이 결과를 식 \(\eqref{eq1}\)에 대입하면, $$b=f(a)\xrightarrow{b=y,\ a=qx}y=f(qx)$$$$\therefore y=f(qx)$$를 얻습니다. 이 확대 변환에서 척도인자는 \(\dfrac{1}{q}\)입니다. 즉 \(x\)축 방향으로의 확대 변환에서, \(x\)의 계수는 척도인자의 역수라는 것을 꼭 기억해주세요!

방정식 \(f(x,y)=0\)의 변환

결국 확대 변환을 하려면 척도인자의 역수를 \(x\)와 \(y\)의 계수로 사용해 주면 됩니다. 이것은 함수 뿐 아니라 방정식 \(f(x,y)=0\)을 확대 변환할 때도 마찬가지 입니다. \(x\)축 방향으로의 척도인자를 \(a\), \(y\)축 방향으로의 척도인자를 \(b\)라 하면 \(a\)와 \(b\)의 역수 \(\dfrac{1}{a}\), \(\dfrac{1}{b}\)를 각각 \(x\)와 \(y\)의 계수로 사용해 주면 방정식 \(f(x,y)=0\)의 그래프를 확대 변환할 수 있습니다.

$$f(x,y)=0\xrightarrow{x\to\frac{1}{a}x, y\to\frac{1}{b}x}f\left(\frac{1}{a}x, \frac{1}{b}y\right)=0$$

활용

예1:삼각함수

그래프의 확대 변환을 가장 흔하게 볼 수 있는 단원은 삼각함수 단원일 것입니다. 예를 들어, \(\sin 2x\)의 주기는 $$\frac{2\pi}{2}=\pi$$이므로, \(\sin 2x\)의 그래프를 그리려면 \(\sin x\)의 그래프를 \(y\)축 쪽으로 당겨야 합니다.

교과서에서는 함수의 확대 변환을 사용하여 이 현상을 설명하고 있지 않지만, 사실 이것은 함수를 \(x\)축 방향으로 확대 변환한 것으로 설명할 수 있습니다. \(\sin 2x\)서 \(x\)의 계수는 \(2\)이므로, 척도인자는 \(2\)의 역수인 \(\dfrac{1}{2}\)입니다. 따라서 \(\sin 2x\)의 그래프는 \(\sin x\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{2}\) 배 확대 변환한 그래프가 됩니다. 따라서 주기 역시 \(\sin x\)의 주기의 \(\dfrac{1}{2}\)배가 됩니다.

예2:타원

원을 \(x\)축 방향이나, \(y\)축 방향으로 확대 변환하면 어떤 도형이 될까요? 네 맞습니다. 타원이 됩니다. 예를 들어 원 $$x^2+y^2=1$$을 \(x\)축 방향으로 \(2\)배 확대 변환하면 장축의 길이가 \(4\)인 타원이 됩니다. 

이때 척도인자의 값은 \(2\)이고 변환을 할 때, \(x\)의 계수는 척도인자의 역수이므로 원의 방정식을 확대 변환하기 위해서는 $$x\to \frac{1}{2}x$$로 바꾸어 원의 방정식에 대입하면 됩니다. 따라서 $$\begin{align}
x^2+y^2=1\xrightarrow{x\to\frac{1}{2}x}& \left(\frac{1}{2}x\right)^2+y^2=1\\
&\Rightarrow \frac{x^2}{4}+y^2=1\\
\end{align}$$