이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 놀랍게도 변곡점을 갖는 모든 사차함수는 이중접선을 갖고 있습니다. 반대로 이중접선을 갖는 사차함수는 변곡점을 갖고 있습니다. 즉, 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 이중접선을 가질 조건은 함수 \(f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건과 같습니다. 즉,
$$\begin{align}&\text{변곡점을 갖는 사차함수}\\
&\Leftrightarrow\text{이중접선을 갖는 사차함수}\end{align}$$
$$3b^2-8ac>0$$
입니다. 그리고 이 때, 이중접선의 방정식은$$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$
입니다. 이 글에서는 이 조건을 증명하고, 이중접선의 방정식을 유도합니다.
관련 글
증명
[사차함수와 이중접선]과 [사차 다항식의 제곱완성]에서 사용한 방법을 일반화하면 이중접선을 가질 조건을 구할 수 있습니다. 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)가 이중접선 \(g(x)=mx+n\)을 갖는다면, 두 식의 차는 사차다항식의 완전제곱식이 되어야 합니다. 즉, 사차함수의 그래프와 이중접선의 접점의 \(x\)좌표가 각각 \(\alpha\), \(\beta\)라고 하면$$\begin{align}
&(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)-(mx+n)\\
&=a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2
\end{align}$$입니다. 그런데, $$\begin{align}
&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)\\
&=ax^4+bx^3+cx^2+(d-m)x+(e-n)\tag{1}\label{eq1}
\end{align}$$이고, $$\begin{align}
&a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\\
&=a(x^4-2(\alpha+\beta)x^3+(\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2)x^2\\
&-2\alpha\beta(\alpha+\beta)x+\alpha^2\beta^2)\tag{2}\label{eq2}
\end{align}$$ 입니다. [사차함수와 이중접선]에서 언급했던 것처럼 이 식의 모든 계수는 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 대칭식으로 이루어져 있습니다. 즉 모든 항의 계수를 \(\alpha+\beta\)와 \(\alpha\beta\)를 사용하여 나타낼 수 있기 때문에 가장 먼저 신경 써야 할 것은 \(\alpha+\beta\)와 \(\alpha\beta\)를 구해주는 것입니다.
먼저 \(\eqref{eq1}\)과 \(\eqref{eq2}\)의 계수를 비교하면 다음과 같습니다. $$\begin{array}{c|c}
& \text{식\(\eqref{eq1}\)} &\text{식\(\eqref{eq2}\)} \\\hline
\text{\(x^3\)의 계수} & b &-2a(\alpha+\beta)\\ \hline
\text{\(x^2\)의 계수} & c &\begin{align}
&a(\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2)\\
&=a((\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta)
\end{align}\\ \hline
\text{\(x\)의 계수} & d-m & -2a\alpha\beta(\alpha+\beta)\\ \hline
\text{상수항} & e-n & a\alpha^2\beta^2
\end{array}$$ 이 결과를 살펴보면, \(m\)과 \(n\)은 \(x\)의 계수와 상수항에만 사용된 것을 알 수 있습니다. 따라서 \(x^3\)과 \(x^2\)의 계수를 비교하여 \(\alpha+\beta\)와 \(\alpha\beta\)의 값을 얻은 다음, 그 값을 이용하여 \(m\)과 \(n\)의 값을 결정하면 이중접선의 존재조건과 이중접선의 방정식을 구할 수 있습니다.
이중접선의 존재조건
\(x^3\)의 계수를 비교하면 \(\alpha+\beta\)의 값을 결정할 수 있습니다. $$b=-2a(\alpha+\beta)$$이므로 $$\alpha+\beta=-\frac{b}{2a}\tag{3}\label{eq3}$$입니다. 이제 \(x^2\)의 계수를 비교하면 \(\alpha\beta\)의 값을 결정할 수 있습니다. $$\begin{align}
c&=a((\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta)\\
&=a\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+2\alpha\beta\right)\\
&=a\left(\frac{b^2}{4a^2}+2\alpha\beta\right)
\end{align}$$ 이므로 $$\begin{align}
\alpha\beta&=\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right)\cdot\frac{1}{2}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)\\
&=-\frac{b^2-4ac}{8a^2}\tag{4}\label{eq4}\\
\end{align}$$ 입니다. 이제 두 수의 합 \(\alpha+\beta\)와 곱 \(\alpha\beta\)를 알게 되었으므로 근과 계수의 관계를 이용하면 두 수 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 근으로 갖는 이차 방정식을 만들 수 있습니다. $$\begin{align}
&\alpha+\beta=-\frac{b}{2a}\\
&\alpha\beta=-\frac{b^2-4ac}{8a^2}
\end{align}$$이므로 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 근으로 갖는 방정식은
$$t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta=0$$ 즉$$t^2+\frac{b}{2a}t-\frac{b^2-4ac}{8a^2}=0$$ 입니다. 이제 이 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 $$\begin{align}
D&=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-\frac{b^2-4ac}{8a^2}\right)\\
&=\frac{b^2}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{2a^2}\\
&=\frac{b^2}{4a^2}+\frac{2b^2-8ac}{4a^2}\\
&=\frac{3b^2-8ac}{4a^2}
\end{align}$$의 값이 \(0\)보다 커야 합니다. 그런데, \(a\ne 0\)이므로 \(4a^2>0\) 입니다. 따라서 $$\begin{align}
&D>0\\
&\Leftrightarrow \frac{3b^2-8ac}{4a^2} >0\\
&\Leftrightarrow 3b^2-8ac>0
\end{align}$$ 그런데 이 조건은 놀랍게도 [사차함수의 그래프가 변곡점을 가질 조건]과 같습니다! 따라서,
$$\text{변곡점을 갖는 사차함수\(\Leftrightarrow\)이중접선을 갖는 사차함수}$$
이중접선의 방정식
이제, \(x\)의 계수와 상수항을 비교하고, \(\eqref{eq3}\)과 \(\eqref{eq4}\)에서 구한 $$\begin{align}
&\alpha+\beta=-\frac{b}{2a}\\
&\alpha\beta=-\frac{b^2-4ac}{8a^2}
\end{align}$$을 대입하면 \(m\)과 \(n\)을 구할 수 있습니다.
먼저 \(x\)의 계수를 비교하면 이중접선의 기울기 \(m\)의 값을 알아낼 수 있습니다. $$d-m=-2a\alpha\beta(\alpha+\beta)$$이므로 $$\begin{align}
m&=d+2a\alpha\beta(\alpha+\beta)\\
&=d+2a\left(-\frac{b^2-4ac}{8a^2}\right)\left(-\frac{b}{2a}\right)\\
&=d+\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}
\end{align}$$ 이제 상수항을 비교하면 이중접선의 \(y\)절편 \(n\)의 값을 찾을 수 있습니다. $$e-n=a\alpha^2\beta^2$$이므로 $$\begin{align}
n&=e-a\alpha^2\beta^2\\
&=e-a(\alpha\beta)^2\\
&=e-a\left(-\frac{b^2-4ac}{8a^2}\right)^2\\
&=e-\left(\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}\right)
\end{align}$$ 입니다. 따라서 이중접선 \(g(x)\)의 방정식은 $$\begin{align}
g(x)&=mx+n\\
&=\left(d+\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}\right)x+e-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}\\
&=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e
\end{align}$$
이중접선의 방정식은 꽤 복잡하기 때문에 실제로 이중접선의 방정식을 구할 때에는 이 결과를 직접 사용하는 것보다는 [사차함수와 이중 접선]에서 사용했던 것처럼 계수 비교를 직접하여 구하는 편이 나아 보입니다.
활용
다음 문제는 [사차함수와 이중접선]에서 설명했던 문제로, 경찰대 2012학년도 입시에 출제되었던 문제입니다.
문제
곡선 \(f(x)=x^4-3x^2+6x+1\) 위의 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 접선의 방정식을 구하시오.
풀이
$$f(x)=x^4-3x^2+6x+1=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$로 두면, \(a=1\), \(b=0\), \(c=-3\), \(d=6\), \(e=1\)입니다. 이중접선을 가질 조건 $$3b^2-8ac=3\cdot 0^2-8\cdot 1 \cdot (-3) = 24 > 0$$을 만족하므로 이 사차함수의 그래프는 이중접선을 가지고 있습니다. $$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$에 \(a=1\), \(b=0\), \(c=-3\), \(d=6\), \(e=1\)을 대입하면, 이중접선의 방정식은 $$\begin{align}
y&=\left(\frac{0(0^2-4\cdot 1\cdot(-3))}{8\cdot 1^2}+6\right)x-\frac{((0)^2-4\cdot 1 \cdot (-3))^2}{64\cdot 1^3}+1\\
&=6x-\frac{12^2}{64}+1\\
&=6x-\frac{9}{4}+1\\
&=6x-\frac{5}{4}
\end{align}$$
변곡점을 가지는 사차함수의 변곡점에서 변곡점을 뚫으면서 접하는 접선이 존재할 수 있나요 ??
네 가능합니다. [링크]를 클릭하시면 사차함수의 그래프와 직선이 변곡점에서 접하고, 다른 한점에서 만나는 경우를 확인하실 수 있습니다.
자세한 내용은 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]과 [삼차함수의 이중접선이 존재하지 않는 이유]를 참조하시면 될 것 같습니다.
첨부해주신 링크로 접선은 확인하였는데, 저 접선에 대해 ‘두 다항식~성질’과 ‘삼차함수~이유’ 에서 알 수 있는것이 무엇인지 잘 모르겠네요 어느 부분에 집중해서 봐야하는 걸까요 ?
변곡점을 뚫으면서 접하는 직선의 존재를 설명하기 위한 글입니다. 두 글의 내용을 간단히 요약해서 말씀드리면, 1. 변곡점을 갖는 함수 f(x)의 그래프와 직선 g(x)가 f(x)의 변곡점 (p, f(p))에서 접하고, 또 다른 점 (q,f(q))에서 만난다면, f(x)-g(x)는 (x-p)^3 과 (x-q)를 인수로 가져야 합니다. 2. 그런데, g(x)는 직선의 방정식이므로 일차이하의 다항식입니다. 만약 f(x)-g(x)가 (x-p)^3과 (x-p)를 동시에 인수로 갖기 위해서는 f(x)-g(x)가 최소 사차다항식이 되어야 하므로 f(x)는 최소 사차함수가 되어야 합니다. 3. 만약 f(x)가 삼차함수일 때에는 f(x)-g(x)는 (x-p)^3와 (x-q) 동시에 인수로 갖는 것이 불가능 하므로 삼차함수 f(x)의 그래프에서 변곡점을 뚫으면서 변곡점에서 접하는 직선은 삼차함수 f(x)의 그래프와 또 다른 점에서 만날 수 없습니다. [두 다항식의 그래프가 접할 때의… Read more »
상세한 설명 감사합니다 !
함수의 차{f(x)-g(x)}를 이용해서 함수찾는 방법{(x-p)^n을 인수로 가진다} 알게된지 얼마 되지않았는데, 너무 흥미로운것 같아요 ! 블로그에 소개된 개념들도 웬만한 학원에선 다루지 않는 내용이고 인강에서 살짝 다루는 내용이지만 수능엔 유용하게 쓰이는 개념들이라 볼때마다 짜릿합니다 또 증명부분도 인터넷 강의와는 달리 보다 더 전문적이고 체계적이라서 찬찬히 읽다보면 안터넷 강의에서 이해되지 않아 무작정 받아들인 내용들의 논리적 결함을 채울 수 있어 유익합니다 !! 항상 잘 보고 있습니다 감사합니다
제 글이 수학의 짜릿함에 조금이나마 기여를 한 것 같아 큰 보람을 느꼈습니다. 남겨주신 댓글에서 수학에 대한 진지함과 열정을 느낄 수 있었습니다. 말씀하신 대로 수학 공부를 할 때, 잘 정리된 공식을 그냥 사용하지 않고, 그 공식 뒤에 있는 배경과 의미를 고민하신 다면 계속해서 짜릿함을 느끼실 수 있을 것입니다. 방문해주시고, 제가 쓴 글을 잘 읽어주셔서 감사드립니다!
12번째줄 3차항 계수 잘못됨.
바로 수정하였습니다. 저 혼자서는 도저히 발견하지 못 했을 것 같습니다. 감사합니다. ^^
22 번째줄 상수항 q아니고 n 입니다
네 지적하신 부분이 맞습니다. 바로 수정하였습니다. 꼼꼼히 읽어주시고 지적해 주셔서 감사합니다!
언제쯤 새 글이 올라올까요 ㅎㅎ
안녕하세요 잘 지내셨죠? 맡은 여러 일을 마무리 하느라 글에 잘 신경을 못쎴네요. 이제 어느 정도 정리가 되어서 다시 하나씩 올려보려고 합니다. 감사합니다~
넵! 늘 잘 읽고 있습니다.
좋은글 감사합니다
방문해주시고 잘 읽어주셔서 저도 감사드립니다!
감사합니다. 참고 되었습니다.
답글이 늦었네요. 잘 읽어주셔서 감사합니다! ^^
이렇게 멋진 블로그를 이제야 알게 되었다니 아쉬울따름이네요 ㅜㅜ
좋은 글 감사히 잘 읽었습니다! 앞으로도 자주 방문하겠습니다 ㅎㅎ
말씀하시는 의도와 다르게 이 문제의 경우 외람된 제 의견을 말씀드리면 이중접선은 두 접점을 공유하므로 이중접선을 y=mx+n이라고 두고 f(x)와 연립해서 만든 방정식이 알파와 베타를 중근으로 각각 가지므로 근과 계수와의 관계를 이용하여 알파와 베타를 구한 후에 m과 n을 구하는 게 좀 더 쉬운 풀이가 아닐까 합니다.
말씀에 딴지 걸고자 함은 절대 아니니 오해 마시고 저도 블로그를 통해 많이 배우고 있습니다.
고맙습니다
안녕하세요! 말씀 감사합니다. 저도 또띠아방님의 말씀처럼 이중접선을 구하기 위해 근과 계수의 관계를 이용하는 것이 더 낫다고 생각합니다! 그래서 본문에 사차함수와 이중 접선에서 사용했던 것처럼 계수 비교를 직접하여 구하는 편이 나아 보입니다” 라고 언급해 두었습니다. 사실 이 글의 목적은 변곡점을 가질 조건과 이중접선을 가질 조건이 동치라는 것을 보이는 것이고 이중접선은 근과 계수의 관계를 이용하는 것이 좋은 것 같습니다. 말씀해주신과 관계 있는 글은 사차다항식의 제곱완성 입니다. 잘 읽어주시고 소중한 의견 내주셔서 감사드립니다!
확실히 이 식을 외워서 이중접선의 식을 찾는 것은 너무 어렵겠습니다. 그런데 변곡점이 없는 사차함수도 계수를 저 식에 대입하여 직선의 방정식을 세울 수 있을 터인데, 그 직선은 사차함수와 기하적인 관계가 있을까요?
(두 점에서 만나는 원이라면) 두 원의 방정식을 빼어서 공통현의 방정식을 구할 수 있는데, 만나지 않더라도 두 원의 방정식을 빼어서 두 원의 극선의 방정식을 얻을 수 있는 것처럼요.