포물선과 직선으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 빠르게 구할 수 있는 고속 적분 공식을 설명합니다.
포물선인 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접할 때, 포물선과 접선, 직선 x=β 로 둘러 싸인 부분의 넓이는 $$\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 예를 들어, \(\alpha<\beta\)일 때, 구하려는 부분의 넓이는$$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|(ax^2+bx+c-(mx+n))\right|dx\\&=\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3\end{align}$$입니다.
\(t=\tan\frac{x}{2}\) 로 치환하면 \(\sin x\) 와 \(\cos x\) 를 \(t\) 로 표현할 수 있습니다.
$$\begin{equation}\begin{aligned}\sin x&=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{aligned}\end{equation}$$
이 결과는 삼각함수의 치환적분에 유용하게 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 변형의 증명과 응용을 설명합니다.
이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$
이차 곡선 문제를 풀 때 사용하는 핵심 전략 중 하나는 다음과 같습니다.
1. 주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다
2. 근과 계수의 관계
이 글에서는 2014학년도 9월 모의고사 19번의 풀이를 통해 이 전략을 어떻게 사용할 수 있는지 구체적으로 알아보겠습니다. (more…)
수열의 합과 마찬가지로 정적분에서도 위끝과 아래끝을 변환하는 방법이 있습니다.
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-p}^{b-p}f(x+p)dx$$
이 테크닉 역시 위 끝과 아래 끝이 복잡한 정적분을 간단히 계산하는데 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 테크닉의 원리와 활용을 설명합니다.
조건부 확률 문제에서 임의로 선택한 1명이 A를 만족할 때, B를 만족할 확률은
A를 만족하는 사람들 중 B를 만족하는 사람이 차지하는 비율
이라는 문장으로 바꾸면 조건부 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이렇게 문제를 바꾸는 것이 가능한 이유와 이 것을 이용해서 조건부 확률을 구하는 법을 소개합니다.
전설의 수학 문제를 찾아서, 2번째 문제인 상자속의 카드 문제를 설명합니다. 이 문제는 1976년 와세다 대학교의 입시 문제로 조건부 확률 문제의 마지막이라고 할 수 있는 문제입니다. 이 문제의 풀이를 통해 두 사건의 발생 시점과 조건부 확률이 어떤 의미를 가지는지 대해 살펴보겠습니다.
트럼프 카드 한 벌에서 조커를 제외한 나머지 52장의 카드 중 임의로 한 장을 뽑아 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자안에 넣어 두었다. 그리고 나머지 카드중에 3장을 임의로 뽑아 보았더니 모두 다이아몬드 카드였다. 이 때, 상자안의 카드가 다이아몬드 카드일 확률은 얼마인가? (1976, 와세다)
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.
좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.
이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.
$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 가 성립할 때 점 \(P\)를 \(\triangle{ABC}\)의 가중 무게 중심이라고 합니다. 또한 $$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c$$가 됩니다. 이 글에서는 선분과 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 법과 가중 무게 중심의 위치 벡터, 삼각형의 넓이비에 대해서 알아보겠습니다.
이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$
이차함수와 두 접선으로 둘러 싸인 넓이는 $$\mathcal{A}=\frac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 이 공식에 대한 증명을 설명합니다.
점과 직선사이의 거리를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
점\(\mathrm{P}(x_0,y_0)\)부터 직선 \(l\):\(ax+by+c=0\)까지의 거리$$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
점과 직선사이의 거리 공식은 고등학교 교과 과정에서 배우는 것이지만 중학교 교과 과정에서 배우는 기본적인 도구만을 사용하여 이 공식을 증명할 수 있습니다. 이 글에서는 중학교 교과 과정의 수학만을 사용하여 점과 직선사이의 거리 공식을 증명합니다.
\(\frac{0}{0}\) 형태를 가진 삼각함수의 극한은 다음과 같은 근사를 사용하여 간단하면서도 빠르게 그 값을 계산할 수 있습니다.
\(x\rightarrow 0\) 일 때, $$\begin{aligned}\sin{x}&\approx x\\\tan{x}&\approx x\\1-\cos{x}&\approx \frac{x^2}{2}\end{aligned}$$
이 글에서는 삼각함수의 근사를 이용해 삼각함수의 극한을 계산하는 법과 주의할 점에 대해서 알아보겠습니다.이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 의 두 접점 \((\alpha, f(\alpha)\), \((\beta, f(\beta))\) 에서 그은 두 접선이 만나는 점의 좌표는 $$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\right)$$ 이다. 특히 이 교점의 x좌표는 a와 관계없이 두 접점을 연결한 선분의 중점이 갖는 x좌표와 같다.
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$
그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.