포물선과 직선으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 빠르게 구할 수 있는 고속 적분 공식을 설명합니다.
포물선인 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접할 때, 포물선과 접선, 직선 x=β 로 둘러 싸인 부분의 넓이는 $$\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 예를 들어, \(\alpha<\beta\)일 때, 구하려는 부분의 넓이는$$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|(ax^2+bx+c-(mx+n))\right|dx\\&=\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3\end{align}$$입니다.
\(t=\tan\frac{x}{2}\) 로 치환하면 \(\sin x\) 와 \(\cos x\) 를 \(t\) 로 표현할 수 있습니다.
$$\begin{equation}\begin{aligned}\sin x&=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{aligned}\end{equation}$$
이 결과는 삼각함수의 치환적분에 유용하게 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 변형의 증명과 응용을 설명합니다.
이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$
이차 곡선 문제를 풀 때 사용하는 핵심 전략 중 하나는 다음과 같습니다.
1. 주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다
2. 근과 계수의 관계
이 글에서는 2014학년도 9월 모의고사 19번의 풀이를 통해 이 전략을 어떻게 사용할 수 있는지 구체적으로 알아보겠습니다. (more…)
수열의 합과 마찬가지로 정적분에서도 위끝과 아래끝을 변환하는 방법이 있습니다.
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-p}^{b-p}f(x+p)dx$$
이 테크닉 역시 위 끝과 아래 끝이 복잡한 정적분을 간단히 계산하는데 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 테크닉의 원리와 활용을 설명합니다.
조건부 확률 문제에서 임의로 선택한 1명이 A를 만족할 때, B를 만족할 확률은
A를 만족하는 사람들 중 B를 만족하는 사람이 차지하는 비율
이라는 문장으로 바꾸면 조건부 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이렇게 문제를 바꾸는 것이 가능한 이유와 이 것을 이용해서 조건부 확률을 구하는 법을 소개합니다.
전설의 수학 문제를 찾아서, 2번째 문제인 상자속의 카드 문제를 설명합니다. 이 문제는 1976년 와세다 대학교의 입시 문제로 조건부 확률 문제의 마지막이라고 할 수 있는 문제입니다. 이 문제의 풀이를 통해 두 사건의 발생 시점과 조건부 확률이 어떤 의미를 가지는지 대해 살펴보겠습니다.
트럼프 카드 한 벌에서 조커를 제외한 나머지 52장의 카드 중 임의로 한 장을 뽑아 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자안에 넣어 두었다. 그리고 나머지 카드중에 3장을 임의로 뽑아 보았더니 모두 다이아몬드 카드였다. 이 때, 상자안의 카드가 다이아몬드 카드일 확률은 얼마인가? (1976, 와세다)
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.
이차함수와 두 접선으로 둘러 싸인 넓이는 $$\mathcal{A}=\frac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 이 공식에 대한 증명을 설명합니다.
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$
이 글에서는 이 식의 증명을 소개합니다. (more…)
함수 \(f(x)\)와 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)의 그래프가 모두 \((a,b)\)를 지날 때, 다음 문장은 참일까요? 거짓일까요?
[진실?/거짓?] 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(g(x)\)의 모든 교점 \((a,b)\)는 직선 \(y=x\)위에 있다.
이 글에서는 함수와 역함수의 교점에 대해 흔히 빠질 수 있는 논리 함정에 대해 이야기 하고, 함수와 역함수의 교점에 대한 중요한 몇가지 성질들에 대해 이야기 합니다. (more…)
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$
그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.
좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.
이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.
이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 놀랍게도 변곡점을 갖는 모든 사차함수는 이중접선을 갖고 있습니다. 반대로 이중접선을 갖는 사차함수는 변곡점을 갖고 있습니다. 즉, 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 이중접선을 가질 조건은 함수 \(f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건과 같습니다. 즉,
$$\begin{align}&\text{변곡점을 갖는 사차함수}\\
&\Leftrightarrow\text{이중접선을 갖는 사차함수}\end{align}$$
$$3b^2-8ac>0$$
입니다. 그리고 이 때, 이중접선의 방정식은$$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$
입니다. 이 글에서는 이 조건을 증명하고, 이중접선의 방정식을 유도합니다.이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$
전설의 수학 문제를 찾아서, 6번째 문제는 원뿔과 경사로 문제입니다. 이 문제는 공간도형을 머릿속에서 생각하려했던 사람들의 머리를 쥐어짜냈던, 악명이 높은 문제입니다.
다음 그림과 같은 직원뿔 모양의 산이 있다. \(\mathrm{A}\)지점을 출발하여 산을 한바퀴 돌아 \(\mathrm{B}\)지점으로 가는 관광 열차의 궤도를 최단거리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오르막 길이지만 나중에는 내리막길이 된다. 이 내리막길의 길이는?
