포물선과 직선으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 빠르게 구할 수 있는 고속 적분 공식을 설명합니다.
포물선인 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접할 때, 포물선과 접선, 직선 x=β 로 둘러 싸인 부분의 넓이는 $$\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 예를 들어, \(\alpha<\beta\)일 때, 구하려는 부분의 넓이는$$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|(ax^2+bx+c-(mx+n))\right|dx\\&=\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3\end{align}$$입니다.
\(t=\tan\frac{x}{2}\) 로 치환하면 \(\sin x\) 와 \(\cos x\) 를 \(t\) 로 표현할 수 있습니다.
$$\begin{equation}\begin{aligned}\sin x&=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{aligned}\end{equation}$$
이 결과는 삼각함수의 치환적분에 유용하게 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 변형의 증명과 응용을 설명합니다.
이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$
이차 곡선 문제를 풀 때 사용하는 핵심 전략 중 하나는 다음과 같습니다.
1. 주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다
2. 근과 계수의 관계
이 글에서는 2014학년도 9월 모의고사 19번의 풀이를 통해 이 전략을 어떻게 사용할 수 있는지 구체적으로 알아보겠습니다. (more…)
수열의 합과 마찬가지로 정적분에서도 위끝과 아래끝을 변환하는 방법이 있습니다.
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-p}^{b-p}f(x+p)dx$$
이 테크닉 역시 위 끝과 아래 끝이 복잡한 정적분을 간단히 계산하는데 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 테크닉의 원리와 활용을 설명합니다.
조건부 확률 문제에서 임의로 선택한 1명이 A를 만족할 때, B를 만족할 확률은
A를 만족하는 사람들 중 B를 만족하는 사람이 차지하는 비율
이라는 문장으로 바꾸면 조건부 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이렇게 문제를 바꾸는 것이 가능한 이유와 이 것을 이용해서 조건부 확률을 구하는 법을 소개합니다.
전설의 수학 문제를 찾아서, 2번째 문제인 상자속의 카드 문제를 설명합니다. 이 문제는 1976년 와세다 대학교의 입시 문제로 조건부 확률 문제의 마지막이라고 할 수 있는 문제입니다. 이 문제의 풀이를 통해 두 사건의 발생 시점과 조건부 확률이 어떤 의미를 가지는지 대해 살펴보겠습니다.
트럼프 카드 한 벌에서 조커를 제외한 나머지 52장의 카드 중 임의로 한 장을 뽑아 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자안에 넣어 두었다. 그리고 나머지 카드중에 3장을 임의로 뽑아 보았더니 모두 다이아몬드 카드였다. 이 때, 상자안의 카드가 다이아몬드 카드일 확률은 얼마인가? (1976, 와세다)
전설의 수학 문제를 찾아서, 2번째 문제인 상자속의 카드 문제를 설명합니다. 이 문제는 1976년 와세다 대학교의 입시 문제로 조건부 확률 문제의 마지막이라고 할 수 있는 문제입니다. 이 문제의 풀이를 통해 두 사건의 발생 시점과 조건부 확률이 어떤 의미를 가지는지 대해 살펴보겠습니다.
트럼프 카드 한 벌에서 조커를 제외한 나머지 52장의 카드 중 임의로 한 장을 뽑아 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자안에 넣어 두었다. 그리고 나머지 카드중에 3장을 임의로 뽑아 보았더니 모두 다이아몬드 카드였다. 이 때, 상자안의 카드가 다이아몬드 카드일 확률은 얼마인가? (1976, 와세다)
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.
함수 \(f(x)\)와 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)의 그래프가 모두 \((a,b)\)를 지날 때, 다음 문장은 참일까요? 거짓일까요?
[진실?/거짓?] 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(g(x)\)의 모든 교점 \((a,b)\)는 직선 \(y=x\)위에 있다.
이 글에서는 함수와 역함수의 교점에 대해 흔히 빠질 수 있는 논리 함정에 대해 이야기 하고, 함수와 역함수의 교점에 대한 중요한 몇가지 성질들에 대해 이야기 합니다. (more…)
좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.
이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.
베이즈 정리란 사후 확률 (posterior probability) 을 사전 확률 (prior probability) 를 이용하여 표현하는 방법으로 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.
사건 B가 먼저 일어난 후 사건 A가 일어날 때, $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$$$\begin{aligned}P(B|A)&\text{ : 사후 확률, 나중에 일어나는 사건 A를 전제로 하는 조건부 확률}\\
P(B)&\text{ : 사전 확률, 사건 A가 일어나기전 사건 B가 일어날 확률}\\
P(A|B)&\text{ : 사건 B가 일어난 후에 사건 A가 일어날 확률}\end{aligned}$$
이 글에서는 베이즈 정리를 직접 유도해보면서 사후 확률과 베이즈 정리의 의미와 목적에 대해 설명하고, 이 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)
이차함수와 두 접선으로 둘러 싸인 넓이는 $$\mathcal{A}=\frac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 이 공식에 대한 증명을 설명합니다.
\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,
$$\begin{align}\int \sin^{-1}xdx&= x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \cos^{-1}xdx&=x\cos^{-1}x-\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \tan^{-1}xdx&=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C
\end{align}$$
\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,
$$\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin^{-1}x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\cos^{-1}x&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\tan^{-1}x&=\frac{1}{1+x^2}
\end{align}$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$
그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.