이차다항식의 제곱완성이란 이차다항식 \(ax^2+bx+c\)를 다음과 같이 $$ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$$ 완전제곱식 \((x-p)^2\)을 사용하여 식의 모양을 바꾸어주는 것을 말합니다. 바꾸어 주는 것을 을 제곱완성이라고 합니다. 마찬가지로, \(a>0\)인 사차식 \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+dx+e\)를 다음과 같이 이차식의 완전제곱식 \((\sqrt{a}x^2+px+q)^2\)을 이용하여 식의 모양을 바꾸는 것을 사차다항식의 제곱완성이라고 합니다.
$$\begin{align}
&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\
&=(\sqrt{a}x^2+px+q)^2+mx+n\end{align}$$
사차함수의 이중 접선이란 사차함수의 그래프와 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 접선입니다. 이중 접선의 방정식을 구하거나 성질을 이용하는 것은 시험에서 자주 출제되는 아주 중요한 주제중 하나입니다.
이중 접선의 방정식은 여러 방법으로 찾을 수 있습니다. 그중 가장 중요한 것은 두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질을 이용한 방법입니다. 이 방법을 사용하면 미분없이 사차함수의 이중 접선을 찾을 수 있습니다.
이 글에서는 산술 기하 평균 부등식과 치환을 사용하여 절대 부등식을 푸는 테크닉을 설명합니다.
\(\frac{0}{0}\) 형태를 가진 삼각함수의 극한은 다음과 같은 근사를 사용하여 간단하면서도 빠르게 그 값을 계산할 수 있습니다.
\(x\rightarrow 0\) 일 때, $$\begin{aligned}\sin{x}&\approx x\\\tan{x}&\approx x\\1-\cos{x}&\approx \frac{x^2}{2}\end{aligned}$$
이 글에서는 삼각함수의 근사를 이용해 삼각함수의 극한을 계산하는 법과 주의할 점에 대해서 알아보겠습니다.도형과 관계된 삼각함수의 극한 문제를 풀 때, 몇 가지 사실을 이용하면 복잡한 계산을 하지 않고 문제의 답을 쉽게 구할 수 있는 경우가 있습니다. 2019학년도 9월 모의고사 가형 19번이 바로 이러한 문제입니다. 부채꼴의 중심각의 크기가 0으로 수렴할 때, $$\text{현의 길이$\approx$호의 길이}$$라는 사실을 이용하면 문제의 답을 간단히 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이러한 사실을 이용하여 어떻게 극한값을 간단히 구할 수 있을지 알아보겠습니다.
이 글에서는 수열의 합의 위끝과 아래끝을 변환하는 소소하지만 확실한 테크닉을 소개합니다. 이 테크닉은 수열의 합을 보다 간단한 형태로 계산할 때 사용할 수 있는데, 종종 문제 해결의 실마리를 발견하는데 큰 도움이 됩니다. 이 글에서는 이 테크닉을 사용하는 법을 소개하고, 2019학년도 6월 모의고사 20번(가형 나형 공통) 문제를 이 테크닉을 사용해 풀어보겠습니다.
$$\sum_{k=m}^na_{k}=\sum_{k=m-p}^{n-p}a_{k+p}$$
2019학년도 9월 모의고사 수학 영역(가형) 29번의 자세한 풀이입니다. 이 문제와 풀이를 통해 “주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다”는 문제 풀이 전략에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$
그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.
좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.
이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.
이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$
베이즈 정리란 사후 확률 (posterior probability) 을 사전 확률 (prior probability) 를 이용하여 표현하는 방법으로 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.
사건 B가 먼저 일어난 후 사건 A가 일어날 때, $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$$$\begin{aligned}P(B|A)&\text{ : 사후 확률, 나중에 일어나는 사건 A를 전제로 하는 조건부 확률}\\
P(B)&\text{ : 사전 확률, 사건 A가 일어나기전 사건 B가 일어날 확률}\\
P(A|B)&\text{ : 사건 B가 일어난 후에 사건 A가 일어날 확률}\end{aligned}$$
이 글에서는 베이즈 정리를 직접 유도해보면서 사후 확률과 베이즈 정리의 의미와 목적에 대해 설명하고, 이 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)
정\(2n\)각형(\(n\ge 3\))의 세 꼭지점을 연결해 만든 삼각형중에서
$$\text{예각삼각형의 개수:둔각삼각형의 개수}=1:3$$
이 글에서는 정\(2n\)각형에서 \(1:3\) 법칙이 성립하는 이유를 알아보고 활용방법을 생각해보겠습니다. 
조립제법이란 다항식을 일차식으로 나눈 몫과 나머지를 곱셈과 덧셈만을 반복하여 빠르게 구하는 방법입니다. 다항식을 일차식으로 나누면 특별한 귀납적 관계를 발견할 수 있습니다. 이 귀납적 관계를 핵심원리로 삼아 만들어진 방법이 바로 조립제법입니다. 이 글에서는 일차식의 나눗셈이 가지고 있는 귀납적 관계를 살펴보고 조립제법이 어떻게 이 원리를 사용하고 있는지 알아보겠습니다.
$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 가 성립할 때 점 \(P\)를 \(\triangle{ABC}\)의 가중 무게 중심이라고 합니다. 또한 $$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c$$가 됩니다. 이 글에서는 선분과 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 법과 가중 무게 중심의 위치 벡터, 삼각형의 넓이비에 대해서 알아보겠습니다.
이 글에서는 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법에 대해 설명합니다. 예를 들어, $$\int \sin x\cdot e^x dx$$의 테이블 적분은 다음과 같습니다. $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
\sin x&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
\cos x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
-\sin x&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&e^x\\
\end{array}$$$$\int \sin x\cdot e^xdx=+(\sin x\cdot e^x)-(\cos x\cdot e^x)+\bbox[yellow]{\int(-\sin x)\cdot e^x dx}$$