베이즈 정리란 사후 확률 (posterior probability) 을 사전 확률 (prior probability) 를 이용하여 표현하는 방법으로 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.
사건 B가 먼저 일어난 후 사건 A가 일어날 때, $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$$$\begin{aligned}P(B|A)&\text{ : 사후 확률, 나중에 일어나는 사건 A를 전제로 하는 조건부 확률}\\
P(B)&\text{ : 사전 확률, 사건 A가 일어나기전 사건 B가 일어날 확률}\\
P(A|B)&\text{ : 사건 B가 일어난 후에 사건 A가 일어날 확률}\end{aligned}$$
이 글에서는 베이즈 정리를 직접 유도해보면서 사후 확률과 베이즈 정리의 의미와 목적에 대해 설명하고, 이 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.
전설의 수학 문제를 찾아서, 3번째 문제는 3인의 죄수 문제입니다. 이 문제 역시 전설의 수학 문제 #1과 #2와 같은 조건부 확률 문제입니다. 서벨로니 (Serbelloni) 문제라고도 알려진 이 문제는 1966년 여름 서벨로니 별장에서 열린 이론 생물학회에서 화제가 된 문제입니다.
A, B, C 3명의 죄수가 있습니다. 3명의 죄수 중에서 곧 2명이 처형이 될 예정이고, 3인의 죄수 모두가 이 사실을 알고 있습니다. 하지만 처형이 될 죄수 2명의 이름은 간수만 알고 있습니다. 어느 날 죄수A는 간수에게 죄수B와 C 2명 중에서 적어도 1명이 처형되는 것은 확실하니 B나 C중 누가 처형이 되는지 한 사람의 이름을 말해달라고 부탁했습니다. 이 때 간수는 B가 처형이 될 것이라고 대답해 주었습니다.
이 말을 들은 죄수 A는 자신이 처형될 확률이 낮아졌다고 무척 기뻐했습니다. 대답을 듣기 전 자신이 처형될 확률은 \(\frac{2}{3}\approx 66.7\%\) 였지만 대답을 듣고 난 후 뒤에는 B와 같이 처형될 죄수는 자신이 아니면 C이므로 앞으로 자신이 처형될 확률이 \(\frac{1}{2}=50\%\) 가 되어 자신이 처형될 확률이 간수의 대답을 듣기 전보다 낮아졌다고 생각했기 때문입니다. 간수가 거짓말을 하지 않는다면 과연 죄수의 판단은 옳은 것일까요?
이차함수의 그래프와 두 접선으로 둘러싸인 넓이를 \(\mathcal{A}\), 두 접점을 연결한 직선과 이차함수로 둘러싸인 넓이를 \(\mathcal{B}\) 라 하면,$$A:B=1:2$$ 이 비율에 대한 간단한 증명을 소개합니다.
이차함수와 두 접선으로 둘러 싸인 넓이는 $$\mathcal{A}=\frac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 이 공식에 대한 증명을 설명합니다.
불변성이란 일반적으로,
조작이나, 반복이 계속될 때에도 바뀌지 않는 특수한 상황
을 뜻합니다. 불변성이라는 단어는 조금 생소하게 들릴수도 있지만 사실은 일상 생활에서도 자주 쓰이는 수학적 개념입니다. 등차 수열에서 인접한 두 항의 차이가 항상 일정(공차)하거나 수열의 귀납적 관계(점화식)관계 등이 바로 불변성을 사용하는 좋은 예입니다. 이 글에서는 2009학년도 3월 모의고사 가형 21번을 통해 불변성에 대해 이야기 해보겠습니다.
이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 의 두 접점 \((\alpha, f(\alpha)\), \((\beta, f(\beta))\) 에서 그은 두 접선이 만나는 점의 좌표는 $$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\right)$$ 이다. 특히 이 교점의 x좌표는 a와 관계없이 두 접점을 연결한 선분의 중점이 갖는 x좌표와 같다.
좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.
이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$
그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.
$$\mathrm{\frac{AP}{PB}\cdot\frac{QC}{BQ}\cdot\frac{RA}{CR}}=1$$
메넬라우스의 정리는 그 증명을 이해해도 사용하는 방법을 잘 익혀두지 않으면 실제로 문제를 풀 때 능숙하게 쓰기 어려운 정리입니다. 하지만 일단 사용 방법을 익혀두면 답을 구하는데 아주 편리하게 사용할 수 있는 정리이기도 합니다. 이 글에서는 평면 벡터와 같은 문제에서 메넬라우스의 정리를 잘 쓸 수 있는 방법에 대해 살펴봅니다.사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙 를 확장하면, 사차함수 그래프의 두 변곡점을 지나는 직선 \(l\)에 대해 다음과 같은 대칭성과 비율 관계를 확인할 수 있습니다.
사차함수의 이중접선과 평행하고 한점에서 접하는 직선, 변곡점을 지나는 직선, 이중접선을 각각 \(l_1\), \(l_2\), \(l_3\)라 할 때,
[관계1]. \(l_1\parallel l_2 \parallel l_3\)
[관계2]. \(l_1\)과 \(l_2\)사이의 거리:\(l_2\)와 \(l_3\)사이의 거리=\(5:4\)
[관계3]. 선분 \(\mathrm{HI}\)과 \(\mathrm{JK}\)의 중점은 일치한다.
[관계4]. 세 점 \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{G}\), \(\mathrm{F}\)는 한 직선 위에 있고, \(x\)축과 직교한다.
[관계5]. \(\mathrm{HI}:\mathrm{JK}:\mathrm{AB}:\mathrm{CD}=1:\sqrt{5}:\sqrt{3}:\sqrt{6}\)
정\(2n\)각형(\(n\ge 3\))의 세 꼭지점을 연결해 만든 삼각형중에서
$$\text{예각삼각형의 개수:둔각삼각형의 개수}=1:3$$
이 글에서는 정\(2n\)각형에서 \(1:3\) 법칙이 성립하는 이유를 알아보고 활용방법을 생각해보겠습니다. 
조립제법이란 다항식을 일차식으로 나눈 몫과 나머지를 곱셈과 덧셈만을 반복하여 빠르게 구하는 방법입니다. 다항식을 일차식으로 나누면 특별한 귀납적 관계를 발견할 수 있습니다. 이 귀납적 관계를 핵심원리로 삼아 만들어진 방법이 바로 조립제법입니다. 이 글에서는 일차식의 나눗셈이 가지고 있는 귀납적 관계를 살펴보고 조립제법이 어떻게 이 원리를 사용하고 있는지 알아보겠습니다.
베이즈 정리란 사후 확률 (posterior probability) 을 사전 확률 (prior probability) 를 이용하여 표현하는 방법으로 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.
사건 B가 먼저 일어난 후 사건 A가 일어날 때, $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$$$\begin{aligned}P(B|A)&\text{ : 사후 확률, 나중에 일어나는 사건 A를 전제로 하는 조건부 확률}\\
P(B)&\text{ : 사전 확률, 사건 A가 일어나기전 사건 B가 일어날 확률}\\
P(A|B)&\text{ : 사건 B가 일어난 후에 사건 A가 일어날 확률}\end{aligned}$$
이 글에서는 베이즈 정리를 직접 유도해보면서 사후 확률과 베이즈 정리의 의미와 목적에 대해 설명하고, 이 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)
$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 가 성립할 때 점 \(P\)를 \(\triangle{ABC}\)의 가중 무게 중심이라고 합니다. 또한 $$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c$$가 됩니다. 이 글에서는 선분과 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 법과 가중 무게 중심의 위치 벡터, 삼각형의 넓이비에 대해서 알아보겠습니다.