모든 정사각형의 모양은 한가지뿐입니다. 그렇다면 정삼각형의 모양은 모두 몇가지 일까요? 모든 정삼각형의 모양 역시 한가지입니다. 이러한 도형들의 공통점은 무엇일까요? 바로 닮음입니다. 모든 정사각형은 서로 닮음이고, 모든 정삼각형도 서로 닮음입니다. 마찬가지로, 포물선의 모양은 오직 한가지 뿐입니다.
$$\begin{align}
&①.\text{ 모든 포물선은 서로 닮음이다.}\\
&②.\ y=ax^2\text{과 }y=bx^2\text{의 닮음비}=|b|:|a|\end{align}$$
방정식 \(f(x,y)=0\)의 그래프를 원점을 중심으로 \(k\)배 (\(k>0\)) 닮음 변환한 그래프의 방정식은
$$f\left(\frac{x}{k}, \frac{y}{k}\right)=0$$
이 글에서는 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음 변환에 대해 설명하고, 몇가지 중요한 예들을 살펴봅니다.삼각형의 세 변의 길이가 각각 \(a\), \(b\), \(c\)이고, 한 개 이상의 변의 길이가 무리수인 삼각형의 넓이는 헤론의 공식의 또 다른 형태
$$\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$$
을 사용합니다. 이 글에서는 이 식의 사용법과 증명을 알아 보겠습니다.
$$\mathrm{\frac{AP}{PB}\cdot\frac{QC}{BQ}\cdot\frac{RA}{CR}}=1$$
메넬라우스의 정리는 그 증명을 이해해도 사용하는 방법을 잘 익혀두지 않으면 실제로 문제를 풀 때 능숙하게 쓰기 어려운 정리입니다. 하지만 일단 사용 방법을 익혀두면 답을 구하는데 아주 편리하게 사용할 수 있는 정리이기도 합니다. 이 글에서는 평면 벡터와 같은 문제에서 메넬라우스의 정리를 잘 쓸 수 있는 방법에 대해 살펴봅니다.삼각형의 세 변의 길이를 \(a,b,c\)라고 하면, 세 변의 길이 관계에서 만들어지는 삼각부등식의 완전형은 다음과 같습니다.
$$|b-c|<a<b+c$$
이 글에서는 이 식의 증명과 의미를 살펴보고 활용 방법을 알아봅니다. (more…)점 \(\mathrm{A}(a,b)\)를 원점 \(\mathrm{O}\)를 중심으로 반시계방향으로 \(90^\circ\) (또는 \(+90^\circ\)) 회전 이동한 점 \(\mathrm{A^\prime}\)과 시계 방향으로 \(90^\circ\) (또는 \(-90^\circ\)) 회전 이동한 점 \(\mathrm{A^{\prime\prime}}\)의 좌표는 각각 다음과 같습니다. $$\begin{align}&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{+90^\circ회전}\mathrm{A’}(-b,a)\\
&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{-90^\circ회전}\mathrm{A^{\prime\prime}}(b,-a)\end{align}$$