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이차 곡선 문제를 풀 때 사용하는 핵심 전략 중 하나는 다음과 같습니다.

1. 주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다
2. 근과 계수의 관계

이 글에서는 2014학년도 9월 모의고사 19번의 풀이를 통해 이 전략을 어떻게 사용할 수 있는지 구체적으로 알아보겠습니다.

이차 곡선 문제가 까다로운 이유

기본적으로 이차 곡선 문제는 계산이 어렵습니다. 식의 차수가 2차이기 때문에 사용하는 미지수의 개수가 3개 정도 되면 연립 방정식을 풀어 미지수의 값을 찾는 것이 아주 까다로워 집니다. 이럴 때에는 주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정하고, 근과 계수의 관계를 이용하면 복잡한 계산을 획기적으로 줄이고, 문제에서 요구하는 답을 쉽게 구할 수 있습니다. 다음 문제를 통해 어떻게 이러한 전략을 사용하는지 알아보겠습니다.

문제 (2014학년도 평가원 9월 모의고사 19번

직선 \(y=2\) 위의 점 \(\mathrm{P}\) 에서 타원 \(x^2+\dfrac{y^2}{2}=1\)에 그은 두 접선의 기울기의 곱이 \(\dfrac{1}{3}\)이다. 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표를 \(k\)라 할 때, \(k^2\)의 값은?

풀이

문제를 풀기 전에 알 수 있는 것은 \(k\ne\pm1\)이라는 것입니다. 타원과 타원의 단축이 \(x\)축과 만나는 점의 좌표가 \((-1,0)\)과 \((1,0)\)이므로 만약 점\(\mathrm{P}\)의 좌표가 \((-1,2)\)나 점 \((1,2)\)일때, 점\(\mathrm{P}\)에서 접선을 그으면 두 접선 중 한 접선이 \(x\)축과 직교하게 됩니다. \(x\)축에 수직인 직선의 기울기를 정의할 수 없으므로 문제에서 제시한 두 접선의 기울기의 곱이 \(\dfrac{1}{3}\)이 될 수 없습니다. 따라서 \(k\ne\pm{1}\)이어야 합니다.

타원에 접하는 접선의 방정식은 기울기를 이용해 만들 수도 있고, 접점을 이용해 만들 수도 있습니다. 따라서 이 문제를 풀기 위해 먼저 해야 할 일은 접선의 방정식을 어떻게 만들지를 결정하는 일입니다. 이 문제에서는 두 접선의 기울기의 곱이 \(\frac{1}{3}\) 이라는 것을 알려주었으므로 기울기를 사용해 접선을 만들어보는 것으로 문제 풀이를 시작하겠습니다.

문제의 그림을 보면, 직선 \(y=2\) 위의 한 점에서 타원에 접하고 기울기의 곱이 양수가 되도록 두 접선을 그으려면 한 접선의 \(y\)절편은 양수가 되어야 하고 나머지 접선의 \(y\)절편은 음수가 되어야 한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 두 접선중 \(y\)절편이 양수인 접선의 기울기를 \(m\), \(y\)절편이 음수인 접선의 기울기를 \(n\) 이라고 하겠습니다.

기울기가 \(m\)이고, 타원$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$에 접하는 접선의 방정식은$$y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$$입니다. 따라서 기울기가 각각 \(m\)과 \(n\)이고, \(y\)절편이 각각 양수와 음수이고, 타원 $$x^2+\frac{y^2}{2}=1$$에 접하는 두 접선의 방정식은 각각 $$y=mx+\sqrt{1\cdot m^2+2}=mx+\sqrt{m^2+2}$$$$y=nx-\sqrt{1\cdot n^2+2}=nx-\sqrt{n^2+2}$$라고 쓸 수 있습니다. 그런데 이 두 접선 모두가 점\((k, 2)\)를 지나므로, 이 두 개의 접선의 방정식에 \(x=k\), \(y=2\)를 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$$\begin{align}2&=mk+\sqrt{m^2+2}\tag{1}\label{eq1}\\
2&=nk-\sqrt{n^2+2}\tag{2}\label{eq2}\end{align}$$입니다. 그리고 문제에서 알려준 두 접선의 기울기의 곱에 의해, $$mn=\frac{1}{3}\tag{3}\label{eq3}$$ 입니다. 이제 이 세 개의 식 \(\eqref{eq1}\),\(\eqref{eq2}\),\(\eqref{eq3}\)을 연립하면 \(k\), \(m\), \(n\)의 값을 모두 구할 수 있습니다. 하지만 이 연립 방정식을 푸는 것은 꽤나 복잡한 계산을 해야 하는 지루한 일입니다. 구해야할 미지수 \(k\), \(m\), \(n\)의 개수가  \(3\)개이고 연립해야 할 방정식에 무리식이 포함되어 있기 때문입니다. 그렇다면 이 어려움을 어떻게 극복할 수 있을까요?

앞서 말했듯이, 이차곡선의 문제에서 문제를 풀 때 계산이 꼬여 버리는 일이 꽤 많이 나타납니다. 이러한 어려움을 돌파할 수 있는 핵심 원리가 바로

주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다.

입니다. 먼저 식\(\eqref{eq1}\)을  정리하면 다음과 같습니다. $$\begin{align}2&=km+\sqrt{m^2+2}\\
&\Leftrightarrow 2-km=\sqrt{m^2+2}\end{align}$$$$\therefore (2-km)^2=m^2+2\tag{4}\label{eq4}$$ 식\(\eqref{eq2}\)도 같은 방법으로 정리해줍니다. $$(2-kn)^2=n^2+2\tag{5}\label{eq5}$$ 이제 식\(\eqref{eq4}\)와 식\(\eqref{eq5}\)를 나란히 놓고 보면 재미있는 점을 발견할 수 있습니다. $$\begin{align}
(2-k\underline{m})^2&=\underline{m^2}+2\\
(2-k\underline{n})^2&=\underline{n^2}+2
\end{align}$$  \(m\)과 \(n\)을 사용한 것을 제외하고 두 식의 모양이 $$(2-k\square)^2=\square^2+2$$의 모양으로 완전히 같다는 것을 알 수 있습니다.만약 \(\square\)를 \(x\)로 바꾸어주면 \(k\ne\pm{1}\)이므로 이차방정식$$(2-kx)^2=x^2+2,\ (k\ne\pm{1})$$을 얻을 수 있습니다. 식 \(\eqref{eq4}\)와 \(\eqref{eq5}\)는 결국 \(x\)에 \(m\)과 \(n\)을 대입한 식이므로, \(m\)과 \(n\)은 방정식 $$(2-kx)^2=x^2+2$$의 서로 다른 두 근이라고 할 수 있습니다.  이 방정식을 정리하면 $$\begin{align}&(2-kx)^2=x^2+2\\
&\Leftrightarrow 4-4kx+k^2x^2=x^2+1\\
&\Leftrightarrow(k^2-1)x^2-4kx+2=0\end{align}$$이 됩니다. 여기까지 정리해 보면 두 기울기의 곱 $$mn=\frac{1}{3}$$의 의미가 분명해 집니다. 이 조건은 이차 방정식의 두 근의 곱을 알려주고 있는 것입니다! 근과 계수의 관계에 의하여  $$\frac{2}{k^2-1}=\frac{1}{3}$$이므로 $$k^2=7$$입니다.