이차곡선 | godingMath

포물선과 초점을 지나는 직선의 공식 3개 (포물선과 현)

포물선의 직선과 서로 다른 2점에서 만날 때 그 두 점을 끝점으로 하는 선분을 포물선의 현이라고 합니다. 특히, 포물선의 초점을 지나는 현은 다음과 같은 성질을 갖고 있습니다.

포물선의 초점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 직선 $l_1$ 이 포물선과 서로 다른 2개의 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 에서 만날 때 다음과 같은 관계가 성립합니다.

$\text{① : }\mathrm{\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}}=\frac{1}{p}$

또한

$l_1$ 과 직교하는 직선

$l_2$ 가 같은 포물선과 서로 다른 두 점

$\mathrm{C}$ ,

$\mathrm{D}$ 에서 만날 때 다음과 같은 같은 관계가 성립합니다.

$\begin{align} &\text{② : }\mathrm{\frac{1}{AF\cdot BF}+\frac{1}{CF\cdot DF}}=\frac{1}{4p^2}\\ &\text{③ : }\mathrm{\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}}=\frac{1}{4p}\\ \end{align}$

이 글에서는 극좌표를 이용한 이 공식의 증명을 소개합니다.

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February 14, 2019 이차곡선 극방정식, 극좌표, 포물선, 현4 Comments

포물선과 극좌표, 포물선의 극방정식

포물선의 초점 $\mathrm{F}$ 부터 준선까지의 거리를 $l$ , 포물선위의 한 점 $\mathrm{P}$ 부터 초점 $\mathrm{F}$ 까지의 거리 $\mathrm{\overline{PF}}= r$ , 직선 $\mathrm{PF}$ 와 $x$ 축의 양의 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 하면 포물선의 극방정식 $r=\frac{l}{1-\cos\theta}$

이 글에서는 포물선의 방정식을 극좌표를 사용한 극방정식으로 나타내는 방법과 극방정식을 직각좌표 형식의 방정식으로 바꾸는 방법, 반직현의 개념에 대해 설명합니다. 그리고 포물선의 방정식을 극방정식으로 나타내는 것이 어떠한 장점을 갖는지에 대해 이야기 합니다.

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February 9, 2019 이차곡선 고급 극방정식, 극좌표, 반직현, 포물선Leave a Comment

이차곡선 문제의 핵심 전략 (2) – 2013학년도 6월 모의고사 27번

이차곡선 문제를 풀 때 사용할 수 있는 핵심 전략은 다음과 같습니다.

● 타원의 정의를 이용할 수 있는 보조선 그리기
● 동일한 구조의 식에서 방정식 추론하기 (주어진 식을 보고 사용할 식을 결정)
● 근과 계수의 관계
● 중점 연결 정리(타원, 쌍곡선)

이 글에서는 다음 문제의 풀이를 통해서 이러한 핵심 전략을 문제에서 어떻게 사용할 수 있는지 알아보겠습니다.

2013학년도 6월 모의고사 가형 27번

두점 $\mathrm F(5,0)$ , $\mathrm F'(-5,0)$ 을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm P$ , $\mathrm Q$ 에 대하여 원점 $\mathrm O$ 에서 선분 $\mathrm{PF}$ 와 선분 $\mathrm{QF’}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm H$ 와 $\mathrm I$ 라 하자. 점 $\mathrm H$ 와 $\mathrm I$ 가 각각 선분 $\mathrm{PF}$ 와 선분 $\mathrm{QF’}$ 의 중점이고, $\mathrm{\overline{OH}\times\overline{OI}=10}$ 일 때, 이 타원의 장축의 길이를 $l$ 이라 하자. $l^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{\overline{OH}\neq\overline{OI}}$ )