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전설의 수학 문제를 찾아서, 2번째 문제인 상자속의 카드 문제를 설명합니다. 이 문제는 1976년 와세다 대학교의 입시 문제로 조건부 확률 문제의 마지막이라고 할 수 있는 문제입니다. 이 문제의 풀이를 통해 두 사건의 발생 시점과 조건부 확률이 어떤 의미를 가지는지 대해 살펴보겠습니다.

트럼프 카드 한 벌에서 조커를 제외한 나머지 52장의 카드 중 임의로 한 장을 뽑아 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자안에 넣어 두었다. 그리고 나머지 카드중에 3장을 임의로 뽑아 보았더니 모두 다이아몬드 카드였다. 이 때, 상자안의 카드가 다이아몬드 카드일 확률은 얼마인가? (1976, 와세다)

전설이라고 부를 수 있는 수학 문제들은 어떤 것일까요? 문제 풀이의 난이도와 관계 없이, 수학 문제를 푸는 재미가 있는 문제, 학문적인 의미를 가지고 있는 문제, 문제 풀이의 원리가 여러 다른 문제에서도 두고 두고 사용되는 문제입니다. “전설의 수학 문제를 찾아서”는 전설이라고 부를 수 있는 수학 문제들을 찾아 풀어보고, 무엇을 배울 수 있는지 그 배경과 의미를 설명하는 연재글입니다.

(표준적인) 풀이

문제의 이해를 돕기 위해 트럼프 카드 한 벌의 구성을 먼저 간단히 언급하겠습니다. 트럼프 카드는 1벌은 1장의 조커와 무늬와 숫자로 구별되는 52장의 카드로 구성되어 있습니다. 무늬의 종류는 하트(♥), 스페이드(♠), 클로버(♣), 다이아몬드(◆) 로 구별하고, 숫자는 A부터 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, J, Q, K 까지 모두 13개의 숫자로 구별합니다.

• 하트(♥) 카드 13장
• 스페이드(♠) 카드 13장
• 클로버(♣) 카드 13장
• 다이아몬드(◆) 카드 13장
• 조커 1장

이 문제는 조건부 확률의 정의를 이용하는 표준적인 해법을 가지고 있는 조건부 확률 문제입니다.  조건부 확률을 구할 때에는 어떤 사건이 일어났다는 것을 전제로 하고, 또 다른 사건이 일어날 확률을 구해야 합니다. 이 문제에서 두 개의 사건이 연이어 일어납니다. 상자 속에 52장의 카드 중 한장의 다이아몬드 넣는 첫 번째 사건(앞으로 이 사건을 사건 A라 정의하겠습니다.)이 먼저 일어나고, 그 후 남은 카드 중에서 다이아몬드 세 장을 뽑는 두 번째 사건(앞으로 이 사건을 사건 B라 정의하겠습니다.)이 일어납니다. 이 문제가 요구하는 확률은

다이아몬드 카드 세 장을 뽑았을 때,

상자속의 카드가 다이아몬드일 확률

이므로, 결국 우리가 구해야 하는 확률은 나중에 일어나는 사건 B를 전제로 하고, 먼저 일어나는 사건 A가 일어날 확률을 구하는 것이 됩니다. 결국 문제에서 요구하는 확률은 $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$가 됩니다. 이 확률을 구하기 위해 먼저 \(P(B)\) 부터 구해보겠습니다. 사건 B는 다음과 같은 4가지 사건으로 구성되어 있으며 각 사건의 확률은 다음과 같습니다.

1. 52장의 카드에서 ♥ 카드 한 장을 뽑아 상자에 넣고 남은 51장의 카드에서 ◆ 세 장을 뽑는 사건 : $$\frac{13}{52}\cdot\frac{_{13}C_3}{_{51}C_3}\tag{1}$$
2. 52장의 카드에서 ♠ 카드 한 장을 뽑아 상자에 넣고 남은 51장의 카드에서 ◆ 세 장을 뽑는 사건 : $$\frac{13}{52}\cdot\frac{_{13}C_3}{_{51}C_3}\tag{2}$$
3. 52장의 카드에서 ♣ 카드 한 장을 뽑아 상자에 넣고 남은 51장의 카드에서 ◆ 세 장을 뽑는 사건 : $$\frac{13}{52}\cdot\frac{_{13}C_3}{_{51}C_3}\tag{3}$$
4. 52장의 카드에서 ◆ 카드 한 장을 뽑아 상자에 넣고 남은 51장의 카드에서 ◆ 세 장을 뽑는 사건 : $$\frac{13}{52}\cdot\frac{_{12}C_3}{_{51}C_3}\tag{4}$$

따라서  \(P(B)\) 는 이 4개의 사건이 일어날 확률을 모두 더한 값과 같습니다.

그런데, 위 4개의 사건 중 4번째 사건이 \(A\cap B\) 가 됩니다. 따라서$$\begin{equation}\begin{aligned}P(A|B)&=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{(4)}{(1)+(2)+(3)+(4)}\\&=\frac{\frac{_{12}C_3}{_{51}C_3}}{\frac{_{13}C_3}{_{51}C_3}+\frac{_{13}C_3}{_{51}C_3}+\frac{_{13}C_3}{_{51}C_3}+\frac{_{12}C_3}{_{51}C_3}}\\&=\frac{_{12}C_{3}}{3\cdot _{13}C_3+_{12}C_3}=
\frac{\frac{12\cdot 11 \cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}}{3\cdot\frac{13\cdot 12 \cdot 11}{3\cdot 2\cdot 1}+\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}  }\\&=\frac{10}{39+10}\\&=\frac{10}{49}\end{aligned}\end{equation}$$

두 사건의 발생 시점과 조건부 확률의 의미

이렇게 표준적인 해법으로 답을 구할 수 있는 문제임에도 불구하고 이 문제를 풀 때 많은 사람들이 어려움을 겪습니다.  그 이유는 무엇일까요? 그리고 이 문제의 답 $$P(A\cap B)=\frac{10}{49}$$은 어떤 어떤 의미를 가지고 있는 것일까요?

이 문제가 어려워진 가장 큰 이유는 문제에서 일어나는 두 사건의 시간적인 순서 때문입니다. 보통의 상황에서, 어떤 사건의 전제 조건이란 그 사건이 일어나기 전에 선행되어야 하는 조건을 뜻하는 경우가 많습니다. 따라서 조건부 확률에서도 어느 한 사건이 다른 사건에 앞서 일어날 때에는 앞서 일어나는 사건을 뒤에 일어나는 사건의 전제 조건으로 사용하는 것이 보다 자연스럽게 느껴집니다. 하지만 이 문제는 특이하게도 나중에 일어나는 사건 B를 그보다 앞서 일어나는 사건 A의 전제 조건으로 사용하고 있습니다. 어떻게 나중에 일어나는 사건을 앞서 일어나는 사건의 전제 조건으로 사용할 수 있을까요?

이 것은 조건부 확률에서 전제조건과 시간적 순서는 관계가 없기 때문입니다. 즉, 사건이 발생하는 시간적 순서와 관계 없이 모든 사건을 또 다른 사건의 전제 조건으로 사용할 수 있습니다. 따라서 나중에 일어나는 사건도 앞서 일어나는 사건의 전제조건으로 사용할 수 있습니다. 대신 전제 조건으로 사용하는 사건이 발생하는 시점에 따라 조건부 확률의 그 의미가 달라집니다. 이러한 조건부 확률의 의미를 잘 이해하면 조건부 확률의 정의를 사용하지 않고도 조건부 확률을 계산할 수 있습니다.

앞서 일어나는 사건을 전제 조건으로 사용할 때

앞서 일어나는 사건을 전제 조건으로 사용할 때, 조건의 확률의 의미는 그 사건이 일어난 상황에서, 다음에 일어날 사건을 예상하는 것입니다. 예를 들어 이 문제에서 사건A를 전제 조건으로 사용한 조건부 확률 \(P(B|A)\) 의 의미는 ◆ 카드 한 장을 상자에 집어 넣고 난 이후 남은 51장의 카드중에서 ◆ 카드 3장을 뽑을 확률을 구하라는 것이 됩니다. ◆ 카드 1장을 상자에 집어넣고 나면 남은 ◆ 카드의 수는 12장이 되므로,  $$P(B|A)=\frac{_{12}C_3}{_{51}C_3}$$ 이 됩니다.

나중에 일어나는 사건을 전제 조건으로 사용할 때

나중에 일어나는 사건을 전제 조건으로 사용할 때, 조건부 확률의 의미는 그러한 결과를 만들게 된 여러 원인들 중에 특정한 원인이 결과에 어느 정도 영향을 미쳤는지를 나타내는 것 입니다. 이 뜻을 조금 더 분명히 하기 위해 다음과 같은 보조 문제를 생각해보겠습니다.

[보조 문제 1]

◆ 카드 1장과 ♠ 카드 1장 중에서  임의로 한 장을 선택하여 어떤 카드인지  확인하지 않고 상자속에 넣어두었다. 남은 카드가 ♠ 카드 일 때,  상자 속에 들어 있는 카드가 ◆ 카드일 확률은?

풀이

남은 카드가 ♠ 카드가 되도록 하는 “유일한” 원인은 상자속에 ◆ 카드를 넣어 두는 것입니다.  원인은 1개만 존재하므로  ◆ 카드가 원인이 될 확률은 1입니다.  비슷한 문제를 하나 더 풀어보겠습니다.

[보조 문제 2]

◆ 카드 1장, ♠ 카드 1장, ♠ 카드 1장 중에서  임의로 한 장을 선택하여 어떤 카드인지  확인하지 않고 상자속에 넣어두었다. 남은 2 장의 카드에서 ♠ 카드를 뽑았을 때, 상자 속에 들어 있는 카드가 ◆ 카드일 확률은?

풀이

정답은 \(\frac{1}{2}\) 입니다.  ♠ 카드를 뽑게 된 원인은 2가지가 있습니다. 상자속에 ◆ 카드를 넣어서 ♠를 뽑았을 수도 있고,  상자속에 ♥ 카드를 넣어서 ♠를 뽑게 되었을 수도 있습니다. 모두 2개의 원인이 있고 모든 카드는 동등하게 사용이 되기 때문에 두 개의 원인이 결과에 미치는 영향은 모두 동일합니다. 따라서 ◆ 카드를 넣은 것은 전체 원인 2개 중 1개에 해당하므로 문제에서 요구하는 확률은 $$\frac{1}{2}$$이 됩니다.

[보조 문제1]과 [보조 문제 2]모두 조건부 확률의 정의를 사용하지 않고 조건부 확률을 구할 수 있었다는 것에 주목해 주세요.

이제 원래 문제로 돌아오겠습니다. 원래 문제에서 ◆ 카드 3장을 뽑게 되는 원인은 여러 가지가 있습니다. 상자속에 ♠ A를 넣은 것이 ◆ 카드 3장을 뽑게 된 원인일 수도 있고, ♠ 2를 넣은 것이 ◆ 카드 3장을 뽑게 된 원인일 수도 있습니다. 모든 ◆ 카드는 동등하게 사용되기 때문에 나중에 뽑은 ◆ 카드의 세장의 번호를 x, y, z 로 특정하면 원인 분석을 쉽게 분석할 수 있습니다. (이것은 몬티홀 문제에서 사회자가 문을 열어 보여준 염소의 이름을 염소B라고 정하고 확률을 계산하는 것과 같은 방법입니다.)

이제 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인을 모두 나열해 보면 다음과 같습니다.

[1] 스페이드 카드를 상자에 넣은 것이 원인인 경우 

• ♠ A 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• ♠ 2 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• ….
• ♠ K 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음

A부터 K까지 모두 13장의 카드를 상자속에 넣을 수 있기 때문에 ♠ 카드를 상자 속에 넣어둔 것이 원인이 되는 경우는 모두 13가지입니다.

[2] 하트 카드를 상자에 넣은 경우 – 13가지

• ♥ A 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• ♥ 2 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• ….
• ♥ K 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음

A부터 K까지 모두 13장의 카드를 상자속에 넣을 수 있기 때문에 ♥ 카드를 상자 속에 넣어둔 것이 원인이 되는 경우는 모두 13가지입니다.

[3] 클로버 카드 한장을 상자에 넣은 경우 – 13가지

• ♣ A 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• ♣ 2 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• ….
• ♣ K 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음

A부터 K까지 모두 13장의 카드를 상자속에 넣을 수 있기 때문에 ♣ 카드를 상자 속에 넣어둔 것이 원인이 되는 경우는 모두 13가지입니다.

[4] 다이아몬드 카드 한장을 상자에 넣은 경우 – 10가지

• ◆ A 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• ◆ 2 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• ….
• ◆ x 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z  를 뽑게 된 원인이 되었음
• ◆ y 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• ◆ z 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음
• …
• ◆ K 카드를 넣은 것이 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 뽑게 된 원인이 되었음

상자속에 카드 한장을 넣어두고 나중에 ◆ x, ◆ y, ◆ z 를 같이 뽑기 위해서는  이 카드 3장을 제외한 나머지 10장의 ◆ 카드 중 한 장을 상자에 넣어두어야 합니다. 그러므로 ◆ 카드를 상자 속에 넣어둔 것이 원인이 되는 경우의 수는 13-3=10 입니다.

모든 카드는 동등하게 사용되므로  각각의 원인이 결과에 미치는 영향은 모두 같습니다. 따라서 ◆ 카드를 상자에 넣은 것이 원인인 것은 10가지 이고,  모든 원인의 수는$$13+13+13+10=49$$이므로 문제에서 요구하는 확률 $$P(A|B)=\frac{10}{49}$$가 됩니다.