사각형의 가중 무게 중심 $$a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+c\overrightarrow{\mathrm{PC}}+d\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{0}$$ 역시 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 것과 같은 방법을 사용하여 그 위치를 찾을 수 있습니다. 이 글에서는 사각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 방법과 그 증명에 대해서 이야기 합니다. (more…)
벡터의 내적 문제에 맞서는 최강의 공식 – 벡터와 중선
삼각형의 중선을 이용하면 복잡한 벡터의 내적 문제를 쉽게 풀 수 있습니다. 삼각형 OAB에서 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\) 이라 하면 다음과 같은 사실이 성립합니다.
$$\mathrm{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=OM^2-MB^2}\tag{*}\label{eq*}$$
이 공식은 벡터의 내적 문제, 특히 최대/최소 문제를 해결하기 위한 최강의 공식 중 하나입니다. 이 글에서는 이 공식의 증명과 그 의미를 설명하고, 이 공식과 관계있는 기출 문제를 풀어봅니다.
역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점
함수 \(f(x)\)와 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)의 그래프가 모두 \((a,b)\)를 지날 때, 다음 문장은 참일까요? 거짓일까요?
[진실?/거짓?] 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(g(x)\)의 모든 교점 \((a,b)\)는 직선 \(y=x\)위에 있다.
이 글에서는 함수와 역함수의 교점에 대해 흔히 빠질 수 있는 논리 함정에 대해 이야기 하고, 함수와 역함수의 교점에 대한 중요한 몇가지 성질들에 대해 이야기 합니다. (more…)
역함수의 함정, 일대일 대응의 진실 혹은 거짓
실수 전체의 집합을 정의역과 공역으로 사용하는 함수 \(y=f(x)\)가 있습니다. 함수 \(y=f(x)\)의 역함수에 대한 다음 문장 중 진실인 것은 무엇일까요?
진실 혹은 거짓?
1. 함수 \(y=f(x)\)가 역함수를 가지려면 함수 \(y=f(x)\)는 실수 전체에서 연속이어야 한다.
2. \(y=f(x)\)가 역함수를 가지려면 함수 \(y=f(x)\)는 증가 또는 감소함수이어야 한다.
이 글에서는 이 문장들의 참거짓을 판단하고, 역함수와 일대일 대응의 논리적 함정에 대해서 이야기 합니다. (more…)
중학교 수학만으로 증명하는 점-직선사이의 거리
점과 직선사이의 거리를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
점\(\mathrm{P}(x_0,y_0)\)부터 직선 \(l\):\(ax+by+c=0\)까지의 거리$$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
점과 직선사이의 거리 공식은 고등학교 교과 과정에서 배우는 것이지만 중학교 교과 과정에서 배우는 기본적인 도구만을 사용하여 이 공식을 증명할 수 있습니다. 이 글에서는 중학교 교과 과정의 수학만을 사용하여 점과 직선사이의 거리 공식을 증명합니다.
포물선과 초점을 지나는 직선의 공식 3개 (포물선과 현)
포물선의 직선과 서로 다른 2점에서 만날 때 그 두 점을 끝점으로 하는 선분을 포물선의 현이라고 합니다. 특히, 포물선의 초점을 지나는 현은 다음과 같은 성질을 갖고 있습니다.
포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)를 지나는 직선 \(l_1\)이 포물선과 서로 다른 2개의 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 만날 때 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$\text{① : }\mathrm{\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}}=\frac{1}{p}$$
또한 \(l_1\)과 직교하는 직선 \(l_2\)가 같은 포물선과 서로 다른 두 점 \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에서 만날 때 다음과 같은 같은 관계가 성립합니다.$$\begin{align}
&\text{② : }\mathrm{\frac{1}{AF\cdot BF}+\frac{1}{CF\cdot DF}}=\frac{1}{4p^2}\\
&\text{③ : }\mathrm{\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}}=\frac{1}{4p}\\
\end{align}$$
이 글에서는 극좌표를 이용한 이 공식의 증명을 소개합니다.
포물선과 극좌표, 포물선의 극방정식
포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)부터 준선까지의 거리를 \(l\), 포물선위의 한 점 \(\mathrm{P}\)부터 초점 \(\mathrm{F}\) 까지의 거리 \(\mathrm{\overline{PF}}= r\), 직선 \(\mathrm{PF}\)와 \(x\)축의 양의 방향이 이루는 각을 \(\theta\) 라 하면 포물선의 극방정식$$r=\frac{l}{1-\cos\theta}$$
이 글에서는 포물선의 방정식을 극좌표를 사용한 극방정식으로 나타내는 방법과 극방정식을 직각좌표 형식의 방정식으로 바꾸는 방법, 반직현의 개념에 대해 설명합니다. 그리고 포물선의 방정식을 극방정식으로 나타내는 것이 어떠한 장점을 갖는지에 대해 이야기 합니다.
