godingMath - Part 8

2013학년도 6월 모의고사 가형 27번

두점 $\mathrm F(5,0)$, $\mathrm F'(-5,0)$을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm P$, $\mathrm Q$에 대하여 원점 $\mathrm O$에서 선분 $\mathrm{PF}$와 선분 $\mathrm{QF’}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm H$와 $\mathrm I$라 하자. 점 $\mathrm H$와 $\mathrm I$가 각각 선분 $\mathrm{PF}$와 선분 $\mathrm{QF’}$의 중점이고, $\mathrm{\overline{OH}\times\overline{OI}=10}$일 때, 이 타원의 장축의 길이를 $l$이라 하자. $l^2$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{\overline{OH}\neq\overline{OI}}$)

가끔은 아주 어려워 보이는 문제가 단순한 테크닉의 조합만으로 쉽게 풀리는 경우가 있습니다. 2018학년도 수능 나형 30번이 그러한 경우입니다. 이 문제를 풀기 위해서 필요한 것은 [소소하지만 확실한 테크닉] 2개와 (조금 길긴 하지만) 단순한 계산 뿐입니다.

2018학년도 수능 나형 30번

이차함수 $f(x)=\dfrac{3x-x^2}{2}$ 에 대하여 구간 $[0,\infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $0\leq x\lt 1$ 일 때, $g(x)=f(x)$ 이다.
(나) $n\leq x \lt n+1$ 일 때, $$g(x)=\frac{1}{2^n}\{f(x-n)-(x-n)\}+x$$이다. (단, $n$은 자연수이다.)

어떤 자연수 $k(k\geq 6)$에 대하여 함수 $h(x)$는 $$h(x)=
\begin{cases}
g(x) & \text{($0\leq x \lt 5$ 또는 $x\geq k$)}\\
2x-g(x) & \text{($5\leq x \lt k$)}
\end{cases}$$이다. 수열 $\{a_n\}$을 $a_n=\displaystyle\int_0^nh(x)dx$ 라 할 때, $$\lim\limits_{n\to\infty}(2a_n-n^2)=\frac{241}{768}$$이다. $k$의 값을 구하시오.

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역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분

$\sin x,\ \cos x,\ \tan x$ 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,

$$\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin^{-1}x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\cos^{-1}x&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\tan^{-1}x&=\frac{1}{1+x^2}
\end{align}$$

입니다. 이 글에서는 역삼각함수의 도함수를 구하는 방법과 그 원리를 설명합니다.

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December 21, 2018 미분 초급 arccos, arcsin, arctan, 도함수, 역삼각함수, 역함수의 미분12 Comments

역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분

$\sin x,\ \cos x,\ \tan x$ 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,

$$\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin^{-1}x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\cos^{-1}x&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\tan^{-1}x&=\frac{1}{1+x^2}
\end{align}$$

입니다. 이 글에서는 역삼각함수의 도함수를 구하는 방법과 그 원리를 설명합니다.

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December 21, 2018 미분 초급 arccos, arcsin, arctan, 도함수, 역삼각함수, 역함수의 미분12 Comments

역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 적분

$\sin x,\ \cos x,\ \tan x$ 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,

$$\begin{align}\int \sin^{-1}xdx&= x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \cos^{-1}xdx&=x\cos^{-1}x-\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \tan^{-1}xdx&=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C
\end{align}$$

입니다. 이 글에서는 역함수 치환적분의 원리를 설명하고, 이를 이용해서 역삼각함수의 적분을 증명해 보겠습니다.

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December 19, 2018 삼각함수, 적분 고급 arcsin. arccos, arctan, 부정적분, 역삼각함수, 역함수 치환적분, 원시함수5 Comments

소소하지만 확실한 테크닉 – 삼각함수 근사를 이용한 극한의 계산

$\frac{0}{0}$ 형태를 가진 삼각함수의 극한은 다음과 같은 근사를 사용하여 간단하면서도 빠르게 그 값을 계산할 수 있습니다.

$x\rightarrow 0$ 일 때, $$\begin{aligned}\sin{x}&\approx x\\\tan{x}&\approx x\\1-\cos{x}&\approx \frac{x^2}{2}\end{aligned}$$

이 글에서는 삼각함수의 근사를 이용해 삼각함수의 극한을 계산하는 법과 주의할 점에 대해서 알아보겠습니다.

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September 18, 2018 극한, 삼각함수 중급 근사화, 맥클로린급수, 소확테, 테일러급수, 평가원10 Comments

부분적분을 빠르게 – 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법

이 글에서는 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법에 대해 설명합니다. 예를 들어, $$\int \sin x\cdot e^x dx$$의 테이블 적분은 다음과 같습니다. $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
\sin x&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
\cos x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
-\sin x&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&e^x\\
\end{array}$$$$\int \sin x\cdot e^xdx=+(\sin x\cdot e^x)-(\cos x\cdot e^x)+\bbox[yellow]{\int(-\sin x)\cdot e^x dx}$$

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December 15, 2018 적분 중급 고속적분, 도표적분법, 부분적분, 테이블 적분법, 표적분법12 Comments

그래프의 확대 및 축소 변환

$y=f(x)$의 그래프를 $y$축 방향으로 $p$배 $(p>0)$ 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$

$y=f(x)$의 그래프를 $x$축 방향으로 $\dfrac{1}{q}$배 $(q>0)$ 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$

그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.

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April 28, 2020 함수 ★☆☆☆☆ 그래프, 확대변환5 Comments

사차함수 그래프의 대칭성과 $1:\sqrt{2}$ 법칙

이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 다음과 같은 비율 관계를 갖고 있습니다.

사차함수의 그래프와 이중접선이 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 접하고, 선분$\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{F}$, 이중접선과 평행한 직선이 사차함수의 그래프와 점$\mathrm{E}$에서 접하고 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 만날 때,

[관계①]. 점$\mathrm{E}$의 $x$좌표=점$\mathrm{F}$의 $x$좌표
[관계②]. $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}:\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$

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March 22, 2020 개념과 활용, 함수 ★★★☆☆ 4차함수, 대칭성15 Comments

소소하지만 확실한 테크닉 – 90도 회전이동

점 $\mathrm{A}(a,b)$를 원점 $\mathrm{O}$를 중심으로 반시계방향으로 $90^\circ$ (또는 $+90^\circ$) 회전 이동한 점 $\mathrm{A^\prime}$과 시계 방향으로 $90^\circ$ (또는 $-90^\circ$) 회전 이동한 점 $\mathrm{A^{\prime\prime}}$의 좌표는 각각 다음과 같습니다. $$\begin{align}&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{+90^\circ회전}\mathrm{A’}(-b,a)\\
&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{-90^\circ회전}\mathrm{A^{\prime\prime}}(b,-a)\end{align}$$

이 글에서는 원점을 중심으로 하는 90° 회전 이동의 결과를 증명하고 활용방법에 대해서 이야기 합니다. (more…)

March 9, 2020 좌표평면, 평면도형 ★★☆☆☆ 90도, 소확테, 회전이동One Comment

삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 넓이의 고속 적분 -1/12 공식

3차 함수 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ 의 그래프가 직선 $y=mx+n$ 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는

$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$

이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.

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November 29, 2018 적분 ★★☆☆☆ 3차함수, 고속적분, 넓이, 직선11 Comments

이항분포 B(n,p)의 평균 E(X)=np, 분산 V(X)=npq의 증명 (2017학년도 서울시립대 논술 2번)

정답을 부르는 개념 – 이항계수의 흡수 항등식

이차곡선 문제의 핵심 전략 (2) – 2013학년도 6월 모의고사 27번

2013학년도 6월 모의고사 가형 27번

소확테 2개의 환상의 콜레보 – 2018학년도 수능 나형 30번

2018학년도 수능 나형 30번

소소하지만 확실한 테크닉 – 정적분의 수열화

대칭식과 교대식의 관계

3변수 교대식의 성질과 인수분해

역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분

역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분

역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 적분

소소하지만 확실한 테크닉 – 삼각함수 근사를 이용한 극한의 계산

부분적분을 빠르게 – 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법

그래프의 확대 및 축소 변환

사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙

소소하지만 확실한 테크닉 – 90도 회전이동

삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 넓이의 고속 적분 -1/12 공식