이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 다음과 같은 비율 관계를 갖고 있습니다.
사차함수의 그래프와 이중접선이 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 접하고, 선분\(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{F}\), 이중접선과 평행한 직선이 사차함수의 그래프와 점\(\mathrm{E}\)에서 접하고 \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에서 만날 때,
[관계①]. 점\(\mathrm{E}\)의 \(x\)좌표=점\(\mathrm{F}\)의 \(x\)좌표
[관계②]. \(\mathrm{AF}:\mathrm{FB}:\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:1:\sqrt{2}:\sqrt{2}\)
관련 글
증명을 위한 준비
사차함수의 대칭성을 증명하기 위해서는 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]을 이용해야 합니다.
다항함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 \(x=t\) 에서 접할 때, 두 식을 빼서 만든 방정식 $$f(x)-g(x)=0$$은 중근 \(x=t\) 를 가진다.
다루어야 할 함수가 사차함수 이므로 아무런 설정 없이 증명을 시작하면 꽤 많은 계산이 필요할 수도 있습니다. 계산량을 줄이기 위해서 증명을 하기전 다음과 같은 설정을 미리 해 두겠습니다.
최고차항의 계수를 1로 두기
먼저 대칭성을 증명하기 위한 사차함수는 $$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$$로 최고차항의 계수를 \(1\)로 두는 것으로 충분합니다. 다음 그림과 같이, 최고차항의 계수가 \(m(\ne 0)\)인 함수 $$m(x^4+ax^3+bx^2+cx+d)$$의 그래프는 최고차항의 계수가 \(1\)인 함수의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(m\)배 한 것입니다. 하지만 이러한 변환은 선분의 길이 비에 영향을 주지 않습니다.
[\(y\)축 방향으로 확대/축소를 하더라도 선분의 길이 비는 변하지 않는다.]
이중접선의 두 접점의 \(x\)좌표를 \(\alpha\)와 \(-\alpha\)로 두기
평행이동 역시 그래픠 대칭성에 영향을 주지 않습니다. 따라서 사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 이중접선 \(g(x)\)의 두 접점 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(-\alpha\)와 \(\alpha\)(단, \(\alpha>0\))로 설정하여 두 접점의 \(x\)좌표를 문자 1개로 표시할 수 있도록 합니다.
증명
\(f(x)-g(x)\)
사차함수의 그래프와 이중 접선의 두 접점의 \(x\)좌표를 설정했으니, 이제 다음 단계는두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질을 이용할 수 있도록 \(f(x)-g(x)\)를 계산하는 것입니다. $$\begin{align}
&f(x)-g(x)\\
&=x^4+ax^3+bx^2+cx+d – (mx+n)\\
&=x^4+ax^3+bx^2+(c-m)x+d-n\\
\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$ 입니다. 그런데, 두 접점 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(-\alpha\)와 \(\alpha\)이므로 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]에 의해 $$\begin{align}
&f(x)-g(x)\\
&=(x+\alpha)^2(x-\alpha)^2\\
&=(x^2-\alpha^2)^2\\
&=x^4-2\alpha^2 x^2+\alpha^4
\tag{2}\label{eq2}\end{align}$$ \(\eqref{eq1}=\eqref{eq2}\) 이므로 \(\eqref{eq1}\)과 \(\eqref{eq2}\)의 양변을 비교하면 $$\begin{cases}a=0\\ b=-2\alpha^2\\c-m=0\Leftrightarrow c=m\\d-n=\alpha^4\Leftrightarrow d=\alpha^4+n\end{cases}$$입니다.
\(f(x)\)의 식 구하기
이 결과를 이용하여 \(f(x)\)를 다시 쓰면, \((\alpha, f(\alpha)) \), \( (-\alpha, f(-\alpha))\)에서 직선 \(y=mx+n\)에 이중으로 접하는 사차함수 \(f(x)\)의 식을 알 수 있습니다. $$f(x)=x^4-2\alpha^2 x^2+mx+\alpha^4+n$$입니다.
이제 이중접선과 평행하며, 사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 한 점에서 접하고 서로 다른 두 점에서 만나는 직선 \(h(x)\)의 방정식을 생각해보겠습니다. 직선 \(h(x)\)의 기울기는 이중 접선 \(g(x)\)의 기울기 \(m\)과 같아야 하므로 $$h(x)=mx+k$$입니다.
\(f(x)-h(x)\)
이중접선때와 마찬가지로, 사차함수의 \(f(x)\)의 그래프와 직선 \(h(x)\)의 그래프가 만나는 점을 분석하기 위해서는 \(f(x)-h(x)\)를 계산해 보아야 합니다.
직선 \(h(x)\)가 사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 접하는 점 \(\mathrm{C}\)의 \(x\)좌표를 \(\beta\), 직선 \(h(x)\)가 사차함수 \(f(x)\)와 만나는 서로 다른 두 점 \(\mathrm{D}\)와 \(\mathrm{E}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(\gamma\), \(\delta\) (단, \(\delta>\gamma\))라고 하면 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]에 의해 $$f(x)-h(x)=(x-\gamma)(x-\beta)^2(x-\delta)\tag{3}\label{eq3}$$입니다. 그런데, $$\begin{align}
&f(x)-h(x)\\
&=x^4-2\alpha^2 x^2+mx+\alpha^4+n-(mx+k)\\
&=x^4-2\alpha^2 x^2 + \alpha^4+n-k\end{align}\tag{4}\label{eq4}$$ 이므로 \(\eqref{eq3}=\eqref{eq4}\)이 되어 $$\begin{align}
&(x-\gamma)(x-\beta)^2(x-\delta)\\&=x^4-2\alpha x^2 + \alpha^4+n-k\end{align}\tag{5}\label{eq5}$$입니다. 이제 좌변을 전개하고 우변과 계수를 비교해야 하는데, 먼저 이 식의 우변을 더 관찰하면 의미있는 정보를 찾아낼 수 있습니다. 이 식의 우변 $$x^4-2\alpha x^2 + \alpha^4+n-k$$에는 홀수차 항이 없고 짝수차 항만 존재합니다. 따라서 우변의 그래프는 \(y\)축 대칭이 되어야 합니다. 따라서 이 식의 좌변 $$(x-\gamma)(x-\beta)^2(x-\delta)$$의 그래프 역시 \(y\)축 대칭이 되어야 하므로 $$\begin{cases}\beta=0\\\gamma=-\delta\end{cases}$$ 가 되어야 한다는 것을 빠르게 알 수 있습니다. (물론 계수 비교를 하여도 같은 결론을 얻을 수 있습니다.)
이제 이 결과를 사용하면 다음과 같이 식이 무척 간결해 집니다. $$\begin{align}\eqref{eq5}&\Leftrightarrow(x+\delta)x^2(x-\delta)=x^4-2\alpha^2 x^2 + \alpha^4+n-k\\
&\Leftrightarrow x^4-\delta^2x^2=x^4-2\alpha^2 x^2 + \alpha^4+n-k\end{align}$$ 입니다. 이제 [관계①]과 [관계②]를 증명할 모든 준비가 되었습니다.
[관계①]
먼저, 점 \(\mathrm{A}(-\alpha, f(-\alpha))\)와 점 \(\mathrm{B}(\alpha, f(\alpha))\) 의 중점 \(\mathrm{F}\)의 \(x\)좌표는 $$\frac{-\alpha+\alpha}{2}=0$$입니다. 마찬가지로, 점 \(\mathrm{D}(-\delta, f(-\delta))\)와 점 \(\mathrm{C}(\delta, f(\delta))\)의 중점 \(\mathrm{E}\)의 \(x\)좌표는 $$\frac{-\delta+\delta}{2}=0$$입니다. 따라서 $$점\mathrm{F}의\ x좌표=점\mathrm{E}의\ x좌표$$
[관계②]
$$x^4-\delta^2x^2=x^4-2\alpha^2 x^2 + \alpha^4+n-k$$ 이므로 양변의 계수를 비교하면, $$\delta^2=2\alpha^2$$이고, \(\alpha>0\), \(\delta>0\) 이므로 $$\delta=\sqrt{2}\alpha$$입니다. 따라서 $$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}:\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$$
확실히 4차함수 부분이 3차함수보다는 훨씬 어렵고, 다소 직관적으로 받아들이기 힘든 부분이 있네요 ㅠㅠ
맞습니다. 사차함수는 삼차함수에 비해 계산해 주어야 할 것도 많고, 시간을 들여 곰곰히 따져보아야 하는 것들이 많죠.
본문에는 f의 x좌표와 c의 x좌표라고 쓰셨습니다 맨 위엔 f와 e인데 대칭성 1에서
알려주셔서 감사합니다! 수정하였습니다. 점이 많이 나오면 점 이름을 정하는 것도 무척 힘이 드는 것 같습니다. ㅠ.ㅠ
이 공식은 사차함수가 y축 대칭일때 뿐만 아니라 이중접선을 가질수있다면 다 쓸수있는건가요?
네 맞습니다. y축 대칭인 사차함수 뿐 아니라 이중접선을 갖는 (또는 변곡점을 갖는) 모든 사차함수에 대해서 성립하는 관계입니다.
이중접선이 기울기가 0일때는 이렇게 되는건가요??
네 말씀하신 부분이 맞습니다. 사차함수와 이중접선은 좋은 주제이기 때문에 다른 글들도 함께 참조하시면 좋을 것 같습니다.
사차함수의 이중접선과 변곡점의 관계
사차함수의 대칭성 II – 이중접선과 그래프의 비율 관계
사차함수의 대칭성 Ⅲ – 이중접선과 넓이의 비율
소소하지만 확실한 테크닉 – 사차다항식의 제곱완성
안녕하세요 수학 초보입니다ㅠㅠ 몇 가지 여쭤봐도 괜찮을까요? 너무 어렵네요ㅜㅜ 첨부한 1번 그래프 1:루트2 저 비율이 제가 알기로는 우함수에서만 성립한다고 알고 있는데 글에서 y축으로 확대 축소되어도 괜찮다고 하시더라고요! 그럼 꼭 우함수대칭이 되지 않을 때가 되는데 제 전제조건인 우함수 대칭이 해당이 되지 않으니까 아예 우함수에서만 성립한다는 저 조건을 없애고 암기를 할까요? 첨부한 2번 그래프 음… 제가 상상해서 그래프를 그려 보았는데 저 그래프일 경우에는 1:1 비율이 성립하지 않더라고요! 저 그래프는 나올 수 없는 그래프인가요? 제가 2번 그래프를 그려보게 된 계기도 혹시 몰라서 첨부합니다! X 좌표의 차이가 클 수록 y 좌표의 차이도 크다고 알고 있었습니다 그런데 1:1 비율 움짤을 보니까 y좌표의 값이 변해도 극소값(?)의… Read more »
네 맞습니다. 두 번째 그래프는 사차함수의 성질에 의해 만들어질 수 없는 그래프입니다. 말씀하신대로 사차함수의 1:√2 법칙은 우함수뿐 아니라, 이중접선과 이중접선과 평행한 또 다른 접선사이에 존재하는 대칭성을 의미합니다. 또한 이 성질은 이중접선이 존재하는 모든 사차함수가 갖고 있는 성질입니다. (우함수이고, x축과 두점에서 접하는 사차함수의 경우 x축이 이중접선의 역할을 하게 됩니다.)
사진을 연달아 두 장 올릴 수 없더라고요ㅠㅠ 누락되어 다시 올립니다 죄송합니다ㅜ
안녕하세요. 질문을 아주 꼼꼼히 해주셨네요. ^^ 덕분에 질문을 제가 잘 이해할 수 있었습니다. 감사합니다. 말씀하신대로, 두 극점의 x좌표 차이가 클 수록, 두 극점의 높이차가 커지는 현상이 일어납니다. 하지만 이 글에서 설명하고 있는 사차함수의 대칭성은 사차함수의 극점간에 존재하는 대칭성이 아니라, 사차함수와 이중접선과 두 접점, 이중 접선과 평행한 또 다른 접선의 접점 사이에 존재하는 대칭성입니다. 예를 들어, 올려주신 세 개의 그래프 중 가장 오른쪽 그래프를 예로 들어보겠습니다. 이중 접선과 사차함수의 그래프가 접하는 접점의 x 좌표를 각각 α, γ 라 하겠습니다. 그리고 이중접선에 평행한 또 하나의 접선을 그려보고, 그 접선과 사차함수의 그래프가 접하는 접점의 x좌표를 β라 둔 후에 x좌표의 차를 계산해보면, γ – β… Read more »
아 그러면 제가 그린 2번 그래프는 접점이 아니라 극점을 중심으로 1:1로 설정해서 안된다는 말씀이시죠? 즉 정리하자면 1:1 비율은 우함수일때와 이중 접선간의 접점관계에 있어서 수립한다고 이해하면 되겠네요! 너무 친절한 답변 감사합니다ㅜㅜ 선생님 덕분에 몇 주동안 이해가 되지 않던 부분이 싸악 해소가 되었어요ㅠㅠ 이거때문에 진짜 얼마나 고생했는지… 정말 감사합니다 선생님 수학 열심히 공부하겠습니다!!
네 맞습니다. 예를 들어주신 우함수인 경우에는 접점이 곧 극점이 되고 x축이 이중접선이 되기 때문에 이 대칭성을 극점사이에 성립하는 성질로 이해하셨던 것 같습니다. 잘 정리가 되셨다니 저도 기쁘네요. 앞으로도 종종 들러주시고 좋은 소식 알려주시면 감사하겠습니다!
인강 개념서에서 공통접선일 경우에도 그냥 1:루트2 비율이 유지된다고 넘어가는데 빠트린 내용이 있어서 이해가 안 되나 했더니 이렇게 증명해야 하는 거군요.. 감사합니다