포물선의 직선과 서로 다른 2점에서 만날 때 그 두 점을 끝점으로 하는 선분을 포물선의 현이라고 합니다. 특히, 포물선의 초점을 지나는 현은 다음과 같은 성질을 갖고 있습니다.
포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)를 지나는 직선 \(l_1\)이 포물선과 서로 다른 2개의 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 만날 때 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$\text{① : }\mathrm{\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}}=\frac{1}{p}$$
또한 \(l_1\)과 직교하는 직선 \(l_2\)가 같은 포물선과 서로 다른 두 점 \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에서 만날 때 다음과 같은 같은 관계가 성립합니다.$$\begin{align}
&\text{② : }\mathrm{\frac{1}{AF\cdot BF}+\frac{1}{CF\cdot DF}}=\frac{1}{4p^2}\\
&\text{③ : }\mathrm{\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}}=\frac{1}{4p}\\
\end{align}$$
이 글에서는 극좌표를 이용한 이 공식의 증명을 소개합니다.