2020학년도 9월 모의고사 30번은 평가원이 ‘적분법’에 대한 문제를 어떻게 만들고 무엇을 강조하는지를 다시 한번 분명히 보여주는 문제입니다.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
$$f'(x^2+x+1)=\pi f(1)\sin\pi x + f(3)x+5x^2\tag{1}\label{eq1}$$ 을 만족시킬 때, \(f(7)\)의 값을 구하시오.
이 문제를 풀기 위해서는 합성함수의 적분법이 필요합니다. 함성함수의 적분법과 치환적분법은 어떠한 관계가 있을까요? 그리고 평가원의 출제의도와 의미는 무엇일까요? 그리고 이 문제는 좋은 30번 문제일까요?
전설의 수학 문제를 찾아서, 6번째 문제는 원뿔과 경사로 문제입니다. 이 문제는 공간도형을 머릿속에서 생각하려했던 사람들의 머리를 쥐어짜냈던, 악명이 높은 문제입니다.
다음 그림과 같은 직원뿔 모양의 산이 있다. \(\mathrm{A}\)지점을 출발하여 산을 한바퀴 돌아 \(\mathrm{B}\)지점으로 가는 관광 열차의 궤도를 최단거리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오르막 길이지만 나중에는 내리막길이 된다. 이 내리막길의 길이는?
삼차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 \(x=\alpha\), \(x=\beta\) 에서 각각 극댓값과 극솟값 \(f(\alpha)\) \(f(\beta)\)를 갖고 변곡점의 좌표가 \((m, f(m))\) 일 때, 두 극값의 합 \(f(\alpha)+f(\beta)\)는 다음과 같습니다.
$$f(\alpha)+f(\beta)=2f(m)=2f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$
이 식을 사용하면 극값의 합과 관계된 문제에서 복잡한 계산을 많이 줄일 수 있습니다. 이 글에서는 두 극값의 합이 변곡점과 어떤 관계를 갖고 있는지 설명합니다.3차함수의 두 극점을 지나는 직선은 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.
(1) 3차함수의 두 극점을 지나는 직선은 언제나 3차함수의 변곡점을 지난다.
(2) 두 극점을 지나는 직선의 기울기=변곡점에서의 접선의 기울기\(\times\dfrac{2}{3}\)
이 글에서는 3차함수의 두 극점을 지나는 직선의 성질을 증명하고, 이 성질을 사용한 해법을 생각해봅니다.
3차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 \(x=\alpha\), \(x=\beta\) (단, \(\alpha<\beta\)) 에서 극값 \(f(\alpha)\)와 \(f(\beta)\)를 가질 때, 두 극값의 차는 다음과 같습니다.
$$
|f(\alpha)-f(\beta)|=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^3\tag{1}\label{eq0}$$
전설의 수학 문제를 찾아서, 5번째 문제는 3차함수의 최대/최소 문제입니다. 1991년 동경대 입시 문제로, 많은 사람들을 놀라게 했던 문제입니다.
구간 \(-\dfrac{7}{4}\leq x \leq 3\) 에서 함수 \(f(x)=x^3-2x^2-3x+4\) 의 최댓값과 최솟값을 구하시오
이 문제는 평범한 문제입니다. 하지만 이 문제는 어려운 문제입니다. 이 문제에 담겨있는 출제자의 의도는 무엇일까요? 그리고 이 문제에서 배울 수 있는 것은 무엇일까요? (more…)
삼차함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프는 다음과 같은 대칭성을 가지고 있습니다.
대칭성① : 삼차함수의 그래프는 변곡점 \(\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)\)에 대해 점대칭이다.
대칭성② : 삼차함수의 그래프는 합동인 \(8\)개의 평행사변형으로 분할할 수 있다.(\(4\)등분 법칙)
이 글에서는 삼차함수 그래프의 대칭성을 증명하고, 이 대칭성을 활용하는 법에 대해 이야기 합니다.
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.
이차함수와 두 접선으로 둘러 싸인 넓이는 $$\mathcal{A}=\frac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 이 공식에 대한 증명을 설명합니다.
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$
이 글에서는 이 식의 증명을 소개합니다. (more…)
함수 \(f(x)\)와 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)의 그래프가 모두 \((a,b)\)를 지날 때, 다음 문장은 참일까요? 거짓일까요?
[진실?/거짓?] 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(g(x)\)의 모든 교점 \((a,b)\)는 직선 \(y=x\)위에 있다.
이 글에서는 함수와 역함수의 교점에 대해 흔히 빠질 수 있는 논리 함정에 대해 이야기 하고, 함수와 역함수의 교점에 대한 중요한 몇가지 성질들에 대해 이야기 합니다. (more…)
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$
그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.
좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.
이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.
이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$
이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 놀랍게도 변곡점을 갖는 모든 사차함수는 이중접선을 갖고 있습니다. 반대로 이중접선을 갖는 사차함수는 변곡점을 갖고 있습니다. 즉, 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 이중접선을 가질 조건은 함수 \(f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건과 같습니다. 즉,
$$\begin{align}&\text{변곡점을 갖는 사차함수}\\
&\Leftrightarrow\text{이중접선을 갖는 사차함수}\end{align}$$
$$3b^2-8ac>0$$
입니다. 그리고 이 때, 이중접선의 방정식은$$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$
입니다. 이 글에서는 이 조건을 증명하고, 이중접선의 방정식을 유도합니다.전설의 수학 문제를 찾아서, 3번째 문제는 3인의 죄수 문제입니다. 이 문제 역시 전설의 수학 문제 #1과 #2와 같은 조건부 확률 문제입니다. 서벨로니 (Serbelloni) 문제라고도 알려진 이 문제는 1966년 여름 서벨로니 별장에서 열린 이론 생물학회에서 화제가 된 문제입니다.
A, B, C 3명의 죄수가 있습니다. 3명의 죄수 중에서 곧 2명이 처형이 될 예정이고, 3인의 죄수 모두가 이 사실을 알고 있습니다. 하지만 처형이 될 죄수 2명의 이름은 간수만 알고 있습니다. 어느 날 죄수A는 간수에게 죄수B와 C 2명 중에서 적어도 1명이 처형되는 것은 확실하니 B나 C중 누가 처형이 되는지 한 사람의 이름을 말해달라고 부탁했습니다. 이 때 간수는 B가 처형이 될 것이라고 대답해 주었습니다.
이 말을 들은 죄수 A는 자신이 처형될 확률이 낮아졌다고 무척 기뻐했습니다. 대답을 듣기 전 자신이 처형될 확률은 \(\frac{2}{3}\approx 66.7\%\) 였지만 대답을 듣고 난 후 뒤에는 B와 같이 처형될 죄수는 자신이 아니면 C이므로 앞으로 자신이 처형될 확률이 \(\frac{1}{2}=50\%\) 가 되어 자신이 처형될 확률이 간수의 대답을 듣기 전보다 낮아졌다고 생각했기 때문입니다. 간수가 거짓말을 하지 않는다면 과연 죄수의 판단은 옳은 것일까요?