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2020학년도 9월 모의고사 30번은 평가원이 ‘적분법’에 대한 문제를 어떻게 만들고 무엇을 강조하는지를 다시 한번 분명히 보여주는 문제입니다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
$$f'(x^2+x+1)=\pi f(1)\sin\pi x + f(3)x+5x^2\tag{1}\label{eq1}$$ 을 만족시킬 때, \(f(7)\)의 값을 구하시오.

이 문제를 풀기 위해서는 합성함수의 적분법이 필요합니다. 함성함수의 적분법과 치환적분법은 어떠한 관계가 있을까요? 그리고 평가원의 출제의도와 의미는 무엇일까요? 그리고 이 문제는 좋은 30번 문제일까요?

이 문제의 풀이는 주어진 조건식\(\eqref{eq1}\)의 양변을 적분하는 것으로 시작합니다. 그런데 식을 적당히 변형하지 않고서 좌변의 부정적분을 구하는 것은 불가능합니다. \(g(x)=x^2+x+1\)로 두면 조건식의 좌변 \(f'(x^2+x+1)\)은 두 함수 \(f'(x)\)와 \(g(x)\)를 합성한 함수 \((f’\circ g)(x)\)이기 때문입니다. 그렇다면 합성함수의 부정적분은 어떻게 구할 수 있을까요?

합성함수와 치환적분법의 관계

‘합성함수의 적분법’이라는 항목은 교과서에 별도로 존재하지는 않습니다. 하지만 치환적분법에서 합성함수의 적분법에 대한 실마리를 찾을 수 있습니다. 교과서에서 설명하고 있는 치환적분법은 다음과 같습니다.

미분가능한 함수 \(g(x)\)에 대하여 \(g(x)=t\)로 놓으면 $$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(t)dt$$

합성함수의 적분가능성

먼저 \(f(g(x))\)는 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 합성한 함수 \((f\circ g)(x)\)이고 \(g'(x)\)는 합성함수의 내부 함수(inner function)인 \(g(x)\)를 미분한 함수입니다. 치환적분법에 의해 $$\int f(g(x))g'(x)dx$$은 항상 적분이 가능하므로, 합성함수를 적분 할 때에는 반드시 내부 함수의 도함수를 곱해주어야 합니다.

결국 치환적분법은 합성함수를 적분 가능 상태로 만들기 위해서는 반드시 해주어야 하는 일이 무엇인지를 의미하고 있는 것입니다.

[예 1] : \(y=e^{x^2}\)

예를 들어, \(y=e^{x^2}\)은 두 함수 \(f(x)=e^{x}\)와 \(g(x)=x^2\)을 합성한 함수입니다. 따라서 함수 \(f(g(x))\)를 적분가능한 상태로 만들어 주려면 합성함수 \(f(g(x))\)와 합성의 내부 함수인 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)=2x\)를 곱해주어야 합니다. $$e^{x^2}\text{ : 적분 불가능}\to e^{x^2}\times(2x)\text{ : 적분 가능}$$

[예 2] : \(y=f(ax)\)

함수 \(f(ax)\)의 부정적분 중 한 함수를 \(F(x)\)라 두면, $$\int f(ax)dx=\frac{1}{a}F(ax)+C$$입니다. 아무런 준비 없이 바로 부정적분이 가능해 보이는 이 함수 \(y=f(ax)\)는 사실 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)=ax\)를 합성한 함수입니다. 내부 함수의 도함수를 곱하지 않았음에도 불구하고 적분이 바로 가능한 이유 무엇일까요? 그 이유는 바로 내부 함수 \(g(x)=ax\)의 도함수 \(g'(x)=a\)가 상수함수이기 때문입니다.

\(f(ax)\)는 합성함수이지만 다음과 같이 이미 내부함수의 도함수가 곱해져 있는 식으로 해석할 수 있습니다. $$f(ax)=f(ax)\times\color{red}{1}=\frac{1}{a}\left(\underbrace{f(ax)\times\color{red}a}_{f(ax)\times(ax)’}\right)$$ 그러므로 따로 내부 함수의 도함수를 곱하지 않아도 적분이 가능한 것입니다.

문제의 풀이

이 문제의 풀이는 크게 5단계로 나눌 수 있습니다. 가장 주목해야 할 단계는 [STEP 1], [STEP 2], [STEP 4]입니다.

STEP 1 : 양변을 모두 적분 가능한 상태로 만들기

조건식 (1)의 우변 $$\pi f(1) \sin\pi x+f(3)x+5x^2$$은 적분이 가능한 상태이지만  조건식 (1)의 좌변 $$f'(x^2+x+1)$$은 적분이 불가능한 상태입니다. \(f(x^2+x+1)\)은 두 함수 \(f'(x)\)와 \(g(x)=x^2+x+1\) 을 합성한 함수이므로 이 함수를 적분하기 위해서는 반드시 내부 함수 \(g(x)=x^2+x+1\)의 도함수 \(g'(x)=2x+1\)을 곱해주어야 합니다. 따라서 조건식(1)의 양변에 \(g'(x)=2x+1\)을 곱해주면 좌변이 적분가능한 상태로 바뀝니다.

그런데 이때 우변도 여전히 적분 가능한 상태인지 확인해주어야 합니다. 만약 \(2x+1\)을 곱한 이후 우변의 적분이 불가능한 상태가 된다면 양변을 동시에 적분하는 것으로 문제를 풀 수 없기 때문입니다.

우변에 \(2x+1\)을 곱하면 $$\begin{align}&(\pi f(1) \sin\pi x+f(3)x+5x^2)(2x+1)\\&=\underbrace{(2x+1)}_{\text{1차함수}}\underbrace{(\pi f(1) \sin\pi x)}_{\text{삼각함수}}+ \underbrace{(f(3)x+5x^2)(2x+1)}_{\text{3차함수}}\end{align}\tag{2}\label{eq2}$$이고 이 식은 1차함수\(\times\)샴각함수와 3차함수의 합으로 이루어진 식이므로 적분이 가능합니다.

이제 조건식\(\eqref{eq1}\)의 양변 모두 적분이 가능한 상태가 되었으므로 양변의 부정적분을 구할 수 있습니다.

STEP 2 : 좌변의 부정적분 구하기

$$f'(x^2+x+1)\times(2x+1)$$의 부정적분은 간단히 구할 수 있습니다. 치환적분법 $$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(t)dt$$에서 $$f\to f’$$로 바꾸고, \(g(x)=t\)로 두면, $$\begin{align}&\int f'(g(x))g'(x)dx\\&=\int f'(t)dt\\&=f(t)+C\\&=f(g(x))+C\end{align}$$입니다. 같은 방법을 사용하여 \(t=x^2+x+1\)이라고 두면, $$\begin{align}&\int f'(x^2+x+1)(2x+1)dx\\&=\int f'(t)dt\\&=f(t)+C_{1}\\&=f(x^2+x+1)+C_1\end{align}$$입니다.

STEP 2 : 우변의 부정적분 구하기

식을 좀 더 간단히 나타내기 위해 \(f'(1)=a\), \(f'(3)=b\)로 두면, 조건식\(\eqref{eq1}\)과 \(2x+1\)을 곱한 식 \(\eqref{eq2}\)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $$\begin{align}&(a\pi \sin\pi x +bx+5x^2)(2x+1)\\&=\underbrace{(2x+1)(a\pi\sin\pi x)}+\underbrace{bx+(2b+5)x^2+10x^3}\end{align}$$ 입니다. [STEP 1]에서 이야기 한 바와 같이 이 식은 1차함수와 삼각함수의  곱과 3차함수의 합으로 이루어진 식이므로 부분적분을 따로 따로 구해보겠습니다.

①\(\int (2x+1)(a\pi\sin\pi x) dx\)

1차함수 \((2x+1)\)과 삼각함수 \(a\pi\sin\pi x\)가 곱해져 있는 식입니다. 이런 형태의 함수는 부분적분법이나 테이블 적분법을 이용하여 부정적분을 구할 수 있습니다. $$\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
(2x+1)&&a\pi\sin\pi x\\
&\searrow{+}\\
2&&-a\cos\pi x\\
&\searrow{-}\\
0&&-\frac{a}{\pi}\sin\pi x\\
\end{array}$$$$\begin{align}&\int(2x+1)(a\pi\sin\pi x) dx=\\&+((2x+1)\cdot(-a\cos\pi x))-(2\cdot(-\frac{a}{\pi}\sin \pi x))+ C_2\\&=-(2x+1)a\cos\pi x+\frac{2a}{\pi}\sin\pi x + C_2\end{align}$$

②\(\int bx +(2b+5)x^2+10x^3dx\)

특별한 계산 방법이 필요하지 않은 3차 다항식의 부정적분입니다. $$\begin{align}&\int bx +(2b+5)x^2+10x^3dx\\&=\frac{b}{2}x^2+\frac{2b+5}{3}x^3+\frac{5}{2}x^4+C_3\end{align}$$

STEP 3 : 좌변과 우변의 식 정리하기

이제 [STEP 1]과 [STEP 2]의 결과를 정리하면 다음과 같습니다. $$\begin{align}&f(x^2+x+1)+C_1\\=&-(2x+1)a\cos\pi x+\frac{2a}{\pi}\sin\pi x + C_2\\&+\frac{b}{2}x^2+\frac{2b+5}{3}x^3+\frac{5}{2}x^4+C_3\end{align}$$이고 적분 상수 \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\)를 한 곳으로 모아 \(C\)로 정리하면 $$\begin{align}&f(x^2+x+1)\\=&-(2x+1)a\cos\pi x+\frac{2a}{\pi}\sin\pi x\\&+\frac{b}{2}x^2+\frac{2b+5}{3}x^3+\frac{5}{2}x^4+C\tag{3}\label{eq3}\end{align}$$

STEP 4 : \(a\), \(b\), \(C\) 구하기

이제 \(a\), \(b\), \(C\)의 값을 구할 차례입니다. 미정 계수 3개의 값을 구하기 위해서는 일단 3개의 등식이 필요합니다. 앞에서 $$a=f(1), b=f(3)$$로 두었으므로 \(f(x^2+x+1)\)의 \(x\)에 적당한 값을 대입하여 \(f(1)\)과 \(f(3)\)을 만들어 준다면 미정계수의 값을 구할 수 있는 등식을 얻을 수 있습니다.

$$x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0$$이므로 이 방정식의 해인 \(x=0\)과 \(x=-1\)을 \(f(x^2+x+1)\)에 대입하여 \(f(1)\)을 만들 수 있습니다. 먼저 \(x=0\)을 식\(\eqref{eq3}\)에 대입하면 $$\begin{align}&f(0^2+0+1)\\&=f(1)=a\\&=-(2\cdot 0 +1)a\cos(\pi\cdot 1)+\frac{\pi}{2}\sin(\pi\cdot 0)\\&+\frac{b}{2}\cdot 0^2+\frac{2b+5}{3}\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^4+C\\&=-a+C\Rightarrow f(1)=-a+C\end{align}$$입니다. \(f(1)=a\)이므로$$a=-a+C\Leftrightarrow 2a-C=0\tag{4}\label{eq4}$$입니다. 같은 방법으로 \(x=-1\)을 식\(\eqref{eq3}\)에 대입하면 $$f(1)=-a+\frac{b}{2}-\frac{2b+5}{3}+\frac{5}{2}+C$$입니다. 다시 한번 \(f(1)=a\)이므로 이 식을 정리하면 $$2a+\frac{b}{6}-C-\frac{5}{6}=0\tag{5}\label{eq5}$$를 얻을 수 있습니다.

이제 \(f(3)\)을 만들 수 있는 \(x\)의 값을 찾아보겠습니다. $$x^2+x+1=3\Leftrightarrow x^2+x-2=0$$이므로 이 방정식의 해인 \(x=-2\)나 \(x=1\) 을 \(f(x^2+x+1)\)에 대입하면 \(f(3)\)을 만들 수 있습니다. 먼저 \(x=1\)를 대입하여 식\(\eqref{eq3}\)에 넣어 정리하면 $$f(3)=3a+\frac{b}{2}+\frac{2b+5}{3}+\frac{5}{2}+C$$이고 \(f(3)=b\)이므로 $$3a+C+5=0\tag{6}\label{eq6}$$입니다. 이제 마지막으로 \(x=-2\)을 식\(\eqref{eq3}\)에 대입하면 $$f(3)=3a+2b-\frac{8}{3}(2b+5)+40+C$$이고, \(f(3)=b\)이므로 $$3a-\frac{13}{3}b+\frac{80}{3}+C=0\tag{7}\label{eq7}$$입니다. 이제 이 4개의 식\(\eqref{eq4},\eqref{eq5}, \eqref{eq6}, \eqref{eq7}\)을 모두 만족하는 \(a\), \(b\), \(C\)의 값이 있는지 찾아야 합니다. 먼저 앞 3개의 식\(\eqref{eq4},\eqref{eq5}, \eqref{eq6}\)$$\begin{cases}
2a-C=0\\
2a+\frac{b}{6}-C-\frac{5}{6}=0\\
3a+C+5=0
\end{cases}$$을 연립하여 \(a\), \(b\), \(C\)의 값을 구하면 $$a=-1, b=5, C=-2$$입니다. 이 값을 식\(\eqref{eq7}\) $$3a-\frac{13}{3}b+\frac{80}{3}+C=0$$에 대입해보면 $$3\cdot(-1)-\frac{13}{3}\cdot 5+\frac{80}{3}-2=0$$이 됩니다. 따라서 $$a-1, b=5, C=-2$$은 네 식을 모두 만족시킵니다. 앞에서 구한 미정 계수의 값을 식\(\eqref{eq3}\)에 대입하면 드디어 \(f(x^2+x+1)\)을 구할 수 있습니다. $$\begin{align}f(x^2+x+1)&=(2x+1)\cos\pi x-\frac{2}{a}\sin\pi x\\&+\frac{5}{2}x^2+5x^3+\frac{5}{2}x^4-2\tag{8}\label{eq8}\end{align}$$입니다.

STEP 5 : \(f(7)\)의 값 구하기

이제 마지막 단계입니다. \(f(x^2+x+1)\)에서 \(f(7)\)의 값을 구하기 위해서는 방정식 $$x^2+x+1=7\Leftrightarrow x^2+x-6=0$$을 만족하는 값을 찾아야 합니다. 이 방정식의 해는 \(x=-3\) 또는 \(x=2\)이므로 식\(\eqref{eq8}\)에 \(x=-3\)이나 \(x=2\)를 대입하면 \(f(7)\)을 구할 수 있습니다.

\(x=-3\)일 때, $$\begin{align}f(7)=&-5\cos(-3\pi)-\frac{-2}{\pi}\sin(-3\pi)\\&+\frac{5}{2}(-3)^2+5(-3)^3+\frac{5}{2}(-3)^4-2\\&=93\end{align}$$ 그리고 \(x=2\)를 대입해도 같은 결과인 $$\begin{align}f(7)=&5\cos(2\pi)-\frac{-2}{\pi}\sin(2\pi)\\&+\frac{5}{2}(2)^2+5(2)^3+\frac{5}{2}(2)^4-2\\&=93\end{align}$$을 얻을 수 있습니다.

문제의 의미

이 문제는 평가원이 ‘적분법’에 대한 문제를 어떻게 만들고 무엇을 강조하는지를 분명히 보여주는 문제입니다. 평가원 적분 문제는 “개념”과 “모양”을 매우 중요하게 생각합니다. 

치환적분법에 의하면, 합성함수가 적분 가능한 상태가 되기 위해서는 식의 모양을 $$f(g(x))\times\color{red}{g'(x)}$$로 규정하고 있습니다. 평가원은 바로 이 부분을 주목해서 문제를 만듭니다. 예를 들어 \(f(g(x)g'(x)\)에서 \(g'(x)\)를 떼어내는 방법으로 적분이 가능하지 않은 상태의 식을 만들어 조건으로 제시하는 것이죠.

실제로 지금까지 많은 평가원의 적분 문제들이 이러한 의도를 가지고 만들어졌습니다.

따라서

적분법에 관한 문제를 풀때에는 주어진 조건을 적분 가능한 상태로 만들기 위해 무엇을 붙여 주어야 하는지 항상 생각

해 주어야 합니다.

문제의 평가

하지만 이 문제가 과연 ‘좋은’ 30번 문제인지에 대해서는 의문의 여지가 있습니다. 이 문제를 풀기 위한 주개념은 주어진 조건의 양변을 적분가능한 상태로 만들기 위한 합성함수와 치환적분법의 관계입니다. 하지만 이것만으로 문제의 난도를 높이기는 어려웠기 때문에 부개념으로 3개의 미정 계수를 사용하고 1차함수와 삼각함수의 곱으로 이루어진 함수의 부분적분법을 넣어 난도를 올리고 시간을 많이 쓰게 만들었습니다.

주개념과 부개념의 콤보 실패

분명히 이 문제는 합성함수와 치환적분법의 관계 및 적분 가능성에 대한 기본 개념을 강조하고 있는 좋은 문제입니다. 하지만, 문제의 부개념이 주개념과 유기적으로 연결되지 못했습니다. 문제를 풀다보면 계산이 복잡한 서로 다른 2문제를 연이어 푸는 것같은 인상을 받습니다.  주개념과 부개념이 서로 연계가 되지 못하고 단순히 계산을 복잡하게 만드는 데에만 부개념이 사용된 것은 많이 아쉬운 부분입니다. 마치 게임에서 2단 공격이 콤보로 연결되지 못하고 단발성 공격 2번으로 그쳐버린것 같은 느낌입니다.

아쉬움이 있지만 좋은 문제를 수없이 만들어낸 평가원이기에 다음을 기대해보겠습니다. 좋은 문제를 만들기 위한 평가원의 노력을 항상 응원합니다.