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3차함수의 두 극점을 지나는 직선은 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.

(1) 3차함수의 두 극점을 지나는 직선은 언제나 3차함수의 변곡점을 지난다.
(2) 두 극점을 지나는 직선의 기울기=변곡점에서의 접선의 기울기\(\times\dfrac{2}{3}\)

이 글에서는 3차함수의 두 극점을 지나는 직선의 성질을 증명하고, 이 성질을 사용한 해법을 생각해봅니다.

성질(1)의 증명

 3차함수 그래프의 대칭성을 이용하면 성질(1)을 쉽게 증명할 수 있습니다.

3차함수 그래프의 대칭성

3차함수 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)의 변곡점의 좌표는 $$\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)$$이고, 모든 3차함수의 그래프는 변곡점에 대해 점대칭이다.

3차함수의 두 극점 역시 변곡점에 대해 대칭이므로 두 극점을 연결한 선분의 중점은 변곡점입니다. 선분의 양 끝점과 중점은 동일한 직선위에 놓이므로, 3차함수의 두 극점을 연결한 직선은 반드시 3차함수의 변곡점을 지나게 됩니다.

성질(2)의 증명

성질(2)의 증명은 성질(1)의 증명보다는 조금 더 복잡합니다.  성질(2)의 증명 과정은 크게 2가지 단계로 나누어집니다.

변곡점을 원점으로 대칭이동한다.

그래프의 대칭성은 평행이동에 영향을 받지 않으므로, 변곡점을 원점으로 평행이동한 3차함수의 그래프를 생각해 보겠습니다. 3차함수의 그래프는 변곡점에 대해 대칭이므로 변곡점을 원점으로 평행이동한 3차함수의 그래프 역시 원점에 대해 대칭이 됩니다. 또한 두 극점을 연결한 직선의 기울기 역시 평행이동에 영향을 받지 않기 때문에 성질(2)의 증명은 원점에 대해 대칭인 3차함수의 그래프가 성질(2)를 갖는 것을 보이는 것으로 대신할 수 있습니다.

그런데 굳이 왜 변곡점을 원점으로 평행이동한 3차함수의 그래프를 생각하는 것일까요? 그 이유는 바로 변곡점을 원점을 대칭이동하면, 식의 모양이 단순해지기 때문입니다. 3차함수의 일반적인 모습은 $$y=ax^3+bx^2+cx+d$$이지만, 원점에 대해 대칭인 3차함수의 모습은$$y=ax^3+cx$$입니다. 따라서 원점에 대칭인 3차함수를 사용하면 증명을 하는 과정에서 계산이 무척 단순해집니다.

극값의 차를 이용하여 기울기를 계산한다.

3차함수 \(f(x)\)가 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 각각 극값 \(f(\alpha)\)와 \(f(\beta)\)를 가질 때, 두 극점을 연결한 3차함수의 기울기는 $$\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$$입니다. 그런데  $$f(\beta)-f(\alpha)$$는 두 극값을 뺀 것이므로 3차함수의 극값의 차를 이용하면 그 값을 간단히 구할 수 있습니다.

$$ f(\beta)-f(\alpha)=-\frac{a}{2}(\beta-\alpha)^3$$

따라서 두 극점을 연결한 선분의 기울기는 $$\begin{align}\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}&=-\frac{a}{2}(\beta-\alpha)^3\times\frac{1}{\beta-\alpha}\\&=-\frac{a}{2}(\beta-\alpha)^2\end{align}$$ 원점에 대해 대칭인 삼차함수 \(f(x)\)는 $$f(x)=ax^3+cx$$ 이므로 $$f'(x)=3ax^2+c$$ 입니다. 그런데 삼차함수 \(f(x)\)는 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 극값을 가지므로 $$f'(\alpha)=f'(\beta)=0$$입니다. 즉, \(\alpha\)와 \(\beta\)는 방정식 $$f'(x)=0\Leftrightarrow 3ax^2+c=0$$의 서로 다른 두 근이고, 이차 방정식의 근과 계수의 관계의 의해 $$\alpha+\beta=-\frac{0}{3a}=0, \alpha\beta=\frac{c}{3a}$$입니다. (물론, 방정식 $$3ax^2+c=0$$이 서로 다른 실근 2개를 갖기 위해서는 \(\dfrac{c}{3a}<0\) 이어야 합니다.) 따라서 두 극점을 연결한 직선의 기울기는 다음과 같이 \(c\) 만을 사용하여 나타낼 수 있습니다. $$\begin{align}-\frac{a}{2}(\beta-\alpha)^2&=-\frac{a}{2}\left\{(\beta+\alpha)^2-4\beta\alpha\right\}\\&=-\frac{a}{2}\left(0^2-4\cdot\frac{c}{3}\right)\\&=-\frac{a}{2}\times\left(-\frac{4c}{3a}\right)\\&=\frac{2}{3}c\end{align}$$한편, 변곡점은 원점이므로 변곡점을 접점으로 하는 접선의 기울기는 $$f'(0)=3a\cdot 0^2+c=c$$입니다. $$\frac{\text{두 극점을 연결한 직선의 기울기}}{\text{변곡점에서 접하는 접선의 기울기}}=\frac{2}{3}c\times\frac{1}{c}=\frac{2}{3}$$ 가 되어 삼차함수 \(f(x)=ax^3+cx\)에서 \(a\)와 \(c\)의 값과 관계없이 언제나

두 극점을 지나는 직선의 기울기=변곡점에서의 접선의 기울기\(\times\dfrac{2}{3}\)

입니다.

관련문제

문제1

3차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 \(x=-1\)과 \(x=3\)에서 각각 극댓값 2와 -6을 가지는 3차함수 \(f(x)\)를 구하시오.

문제1의 풀이

이 문제를 풀기위한 일반적인 해법은 $$f'(-1)=f'(3)=0, f(1)=2, f(3)=-6$$를 연립하여 미정계수 \(a,b,c,d\)의 값을 구하는 것입니다. 하지만 두 직선을 연결한 직선의 기울기와 변곡점에 접하는 접선의 기울기의 관계를 이용하면 더 빠른 계산이 가능합니다. 

3차함수 \(f(x)\)가 \(x=-1\)과 \(x=3\)에서 극값을 가지므로 $$f'(x)=k(x+1)(x-3)=kx^2-2kx-3k$$로 둘 수 있고, 변곡점은 두 극점의 중점이므로 변곡점의 \(x\)좌표는 $$\frac{-1+3}{2}=1$$입니다. 따라서 변곡점을 접점으로 하는 접선의 기울기 $$f'(1)=k(1+1)(1-3)=-4k$$입니다. 두 극점을 연결한 직선의 기울기는 $$\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{-6-2}{3-(-1)}=-2$$입니다. 성질(2)에 의해,

두 극점을 지나는 직선의 기울기=변곡점에서의 접선의 기울기\(\times\dfrac{2}{3}\)

이므로 $$-2=-4k\times\frac{2}{3}=-\frac{8k}{3}$$이고 $$k=-2\times\left(-\frac{3}{8}\right)=\frac{3}{4}$$입니다. \(k\)의 값을 구했으니 도함수의 식을 완전히 구할 수 있습니다. $$\begin{align}f'(x)&=kx^2-2kx-3k\\&=\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}x-\frac{9}{4}\end{align}$$입니다. 이 함수의 부정적분은 $$f(x)=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{4}x^2-\frac{9}{4}x+d$$이고 $$f(-1)=2$$이므로 $$f(-1)=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-\frac{9}{4}+d=2$$$$\therefore d=\frac{19}{4}$$입니다. 따라서 $$f(x)=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{4}x^2-\frac{9}{4}x+\frac{19}{4}$$