사각형의 가중 무게 중심 $$a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+c\overrightarrow{\mathrm{PC}}+d\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{0}$$ 역시 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 것과 같은 방법을 사용하여 그 위치를 찾을 수 있습니다. 이 글에서는 사각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 방법과 그 증명에 대해서 이야기 합니다. (more…)
벡터의 내적 문제에 맞서는 최강의 공식 – 벡터와 중선
삼각형의 중선을 이용하면 복잡한 벡터의 내적 문제를 쉽게 풀 수 있습니다. 삼각형 OAB에서 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\) 이라 하면 다음과 같은 사실이 성립합니다.
$$\mathrm{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=OM^2-MB^2}\tag{*}\label{eq*}$$
이 공식은 벡터의 내적 문제, 특히 최대/최소 문제를 해결하기 위한 최강의 공식 중 하나입니다. 이 글에서는 이 공식의 증명과 그 의미를 설명하고, 이 공식과 관계있는 기출 문제를 풀어봅니다.
역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점
함수 \(f(x)\)와 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)의 그래프가 모두 \((a,b)\)를 지날 때, 다음 문장은 참일까요? 거짓일까요?
[진실?/거짓?] 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(g(x)\)의 모든 교점 \((a,b)\)는 직선 \(y=x\)위에 있다.
이 글에서는 함수와 역함수의 교점에 대해 흔히 빠질 수 있는 논리 함정에 대해 이야기 하고, 함수와 역함수의 교점에 대한 중요한 몇가지 성질들에 대해 이야기 합니다. (more…)
역함수의 함정, 일대일 대응의 진실 혹은 거짓
실수 전체의 집합을 정의역과 공역으로 사용하는 함수 \(y=f(x)\)가 있습니다. 함수 \(y=f(x)\)의 역함수에 대한 다음 문장 중 진실인 것은 무엇일까요?
진실 혹은 거짓?
1. 함수 \(y=f(x)\)가 역함수를 가지려면 함수 \(y=f(x)\)는 실수 전체에서 연속이어야 한다.
2. \(y=f(x)\)가 역함수를 가지려면 함수 \(y=f(x)\)는 증가 또는 감소함수이어야 한다.
이 글에서는 이 문장들의 참거짓을 판단하고, 역함수와 일대일 대응의 논리적 함정에 대해서 이야기 합니다. (more…)
중학교 수학만으로 증명하는 점-직선사이의 거리
점과 직선사이의 거리를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
점\(\mathrm{P}(x_0,y_0)\)부터 직선 \(l\):\(ax+by+c=0\)까지의 거리$$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
점과 직선사이의 거리 공식은 고등학교 교과 과정에서 배우는 것이지만 중학교 교과 과정에서 배우는 기본적인 도구만을 사용하여 이 공식을 증명할 수 있습니다. 이 글에서는 중학교 교과 과정의 수학만을 사용하여 점과 직선사이의 거리 공식을 증명합니다.
포물선과 초점을 지나는 직선의 공식 3개 (포물선과 현)
포물선의 직선과 서로 다른 2점에서 만날 때 그 두 점을 끝점으로 하는 선분을 포물선의 현이라고 합니다. 특히, 포물선의 초점을 지나는 현은 다음과 같은 성질을 갖고 있습니다.
포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)를 지나는 직선 \(l_1\)이 포물선과 서로 다른 2개의 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 만날 때 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$\text{① : }\mathrm{\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}}=\frac{1}{p}$$
또한 \(l_1\)과 직교하는 직선 \(l_2\)가 같은 포물선과 서로 다른 두 점 \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에서 만날 때 다음과 같은 같은 관계가 성립합니다.$$\begin{align}
&\text{② : }\mathrm{\frac{1}{AF\cdot BF}+\frac{1}{CF\cdot DF}}=\frac{1}{4p^2}\\
&\text{③ : }\mathrm{\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}}=\frac{1}{4p}\\
\end{align}$$
이 글에서는 극좌표를 이용한 이 공식의 증명을 소개합니다.
포물선과 극좌표, 포물선의 극방정식
포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)부터 준선까지의 거리를 \(l\), 포물선위의 한 점 \(\mathrm{P}\)부터 초점 \(\mathrm{F}\) 까지의 거리 \(\mathrm{\overline{PF}}= r\), 직선 \(\mathrm{PF}\)와 \(x\)축의 양의 방향이 이루는 각을 \(\theta\) 라 하면 포물선의 극방정식$$r=\frac{l}{1-\cos\theta}$$
이 글에서는 포물선의 방정식을 극좌표를 사용한 극방정식으로 나타내는 방법과 극방정식을 직각좌표 형식의 방정식으로 바꾸는 방법, 반직현의 개념에 대해 설명합니다. 그리고 포물선의 방정식을 극방정식으로 나타내는 것이 어떠한 장점을 갖는지에 대해 이야기 합니다.
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\