삼차함수의 두 극점을 지나는 직선과 f(x)를 f'(x)로 나눈 나머지


다항식 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지는 특별한 의미를 갖고 있습니다. 특히, 삼차함수 \(f(x)\)를 그 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 할 때, 즉, $$f(x)=f'(x)Q(x)+R(x)$$이면, 

3차함수 \(f(x)\)의 두 극점을 연결한  직선의 방정식은 $$y=R(x)$$

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개념과 활용, 함수 , , , , 7 Comments

사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙

이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 다음과 같은 비율 관계를 갖고 있습니다.

사차함수의 그래프와 이중접선이 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 접하고, 선분\(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{F}\), 이중접선과 평행한 직선이 사차함수의 그래프와 점\(\mathrm{E}\)에서 접하고 \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에서 만날 때,

[관계①]. 점\(\mathrm{E}\)의 \(x\)좌표=점\(\mathrm{F}\)의 \(x\)좌표
[관계②]. \(\mathrm{AF}:\mathrm{FB}:\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:1:\sqrt{2}:\sqrt{2}\)

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개념과 활용, 함수 , 15 Comments

조립제법의 원리 – 나눗셈의 귀납적 관계

조립제법이란 다항식을 일차식으로 나눈 몫과 나머지를 곱셈과 덧셈만을 반복하여  빠르게 구하는 방법입니다. 다항식을 일차식으로 나누면 특별한 귀납적 관계를 발견할 수 있습니다. 이 귀납적 관계를 핵심원리로 삼아 만들어진 방법이 바로 조립제법입니다. 이 글에서는 일차식의 나눗셈이 가지고 있는 귀납적 관계를 살펴보고 조립제법이 어떻게 이 원리를 사용하고 있는지 알아보겠습니다.

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식의계산 , 18 Comments

소소하지만 확실한 테크닉 – 90도 회전이동

점 \(\mathrm{A}(a,b)\)를 원점 \(\mathrm{O}\)를 중심으로 반시계방향으로 \(90^\circ\) (또는 \(+90^\circ\)) 회전 이동한 점 \(\mathrm{A^\prime}\)과 시계 방향으로 \(90^\circ\) (또는 \(-90^\circ\)) 회전 이동한 점  \(\mathrm{A^{\prime\prime}}\)의 좌표는 각각 다음과 같습니다. $$\begin{align}&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{+90^\circ회전}\mathrm{A’}(-b,a)\\
&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{-90^\circ회전}\mathrm{A^{\prime\prime}}(b,-a)\end{align}$$

이 글에서는 원점을 중심으로 하는 90° 회전 이동의 결과를 증명하고 활용방법에 대해서 이야기 합니다. (more…)

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함수와 역함수의 교점, 그리고 함수 순환의 예고편 – 2019학년도 6월 모의고사 나형 29번

2019학년도 6월 모의고사 29번은 역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점에서 언급한 성질을 아주 잘 보여주는 문제입니다. 이 글에서는 문제를 풀어보면서 함수와 역함수의 교점에 대한 성질을 어떻게 이용하는지 살펴보고 더 나아가 함수의 순환에 대해서도 간단히 언급해 보겠습니다.

①. 함수 \(f(x)\)가 증가함수이면, 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(f^{-1}(x)\)의 모든 교점은 직선 \(y=x\)위에 존재한다.
②. 함수와 역함수의 교점이 \((a,b)\)이면, \((b,a)\)도 두 함수의 교점이다.

2019학년도 6월 모의고사 나형 29번

함수 $$f(x)=\begin{cases}
ax+b, & \text{$x\lt 1$}\\[2ex]
cx^2+\frac{5}{2}x, & \text{$x\geq 1$}
\end{cases}$$

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 역함수 \(y=f^{-1}(x)\)의 그래프의 교점의 개수가 3이고, 그 교점의 \(x\)좌표가 각각 \(-1\), \(1\), \(2\)일 때, \(2a+4b-10c\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.)

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경우의 수, 함수 , , , 22 Comments

함수와 역함수의 교점, 그리고 함수 순환의 예고편 – 2019학년도 6월 모의고사 나형 29번

2019학년도 6월 모의고사 29번은 역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점에서 언급한 성질을 아주 잘 보여주는 문제입니다. 이 글에서는 문제를 풀어보면서 함수와 역함수의 교점에 대한 성질을 어떻게 이용하는지 살펴보고 더 나아가 함수의 순환에 대해서도 간단히 언급해 보겠습니다.

①. 함수 \(f(x)\)가 증가함수이면, 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(f^{-1}(x)\)의 모든 교점은 직선 \(y=x\)위에 존재한다.
②. 함수와 역함수의 교점이 \((a,b)\)이면, \((b,a)\)도 두 함수의 교점이다.

2019학년도 6월 모의고사 나형 29번

함수 $$f(x)=\begin{cases}
ax+b, & \text{$x\lt 1$}\\[2ex]
cx^2+\frac{5}{2}x, & \text{$x\geq 1$}
\end{cases}$$

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 역함수 \(y=f^{-1}(x)\)의 그래프의 교점의 개수가 3이고, 그 교점의 \(x\)좌표가 각각 \(-1\), \(1\), \(2\)일 때, \(2a+4b-10c\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.)

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역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분

\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,

$$\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin^{-1}x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\cos^{-1}x&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\tan^{-1}x&=\frac{1}{1+x^2}
\end{align}$$

입니다. 이 글에서는 역삼각함수의 도함수를 구하는 방법과 그 원리를 설명합니다.

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미분 , , , , , 12 Comments

역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 적분

\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,

$$\begin{align}\int \sin^{-1}xdx&= x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \cos^{-1}xdx&=x\cos^{-1}x-\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \tan^{-1}xdx&=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C
\end{align}$$

입니다. 이 글에서는 역함수 치환적분의 원리를 설명하고, 이를 이용해서 역삼각함수의 적분을 증명해 보겠습니다.

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삼각함수, 적분 , , , , , 5 Comments

부분적분을 빠르게 – 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법

이 글에서는 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법에 대해 설명합니다. 예를 들어, $$\int \sin x\cdot e^x dx$$의 테이블 적분은 다음과 같습니다. $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
\sin x&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
\cos x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
-\sin x&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&e^x\\
\end{array}$$$$\int \sin x\cdot e^xdx=+(\sin x\cdot e^x)-(\cos x\cdot e^x)+\bbox[yellow]{\int(-\sin x)\cdot e^x dx}$$

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적분 , , , , 12 Comments

조립제법의 원리 – 나눗셈의 귀납적 관계

조립제법이란 다항식을 일차식으로 나눈 몫과 나머지를 곱셈과 덧셈만을 반복하여  빠르게 구하는 방법입니다. 다항식을 일차식으로 나누면 특별한 귀납적 관계를 발견할 수 있습니다. 이 귀납적 관계를 핵심원리로 삼아 만들어진 방법이 바로 조립제법입니다. 이 글에서는 일차식의 나눗셈이 가지고 있는 귀납적 관계를 살펴보고 조립제법이 어떻게 이 원리를 사용하고 있는지 알아보겠습니다.

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식의계산 , 18 Comments

베이즈 정리와 조건부 확률의 관계

베이즈 정리란 사후 확률 (posterior probability) 을 사전 확률 (prior probability) 를 이용하여 표현하는 방법으로 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.

사건 B가 먼저 일어난 후 사건 A가 일어날 때, $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$$$\begin{aligned}P(B|A)&\text{ : 사후 확률, 나중에 일어나는 사건 A를 전제로 하는 조건부 확률}\\
P(B)&\text{ : 사전 확률,  사건 A가 일어나기전 사건 B가 일어날 확률}\\
P(A|B)&\text{ : 사건 B가 일어난 후에 사건 A가 일어날 확률}\end{aligned}$$

이 글에서는 베이즈 정리를 직접 유도해보면서 사후 확률과 베이즈 정리의 의미와 목적에 대해 설명하고, 이 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)

확률 , , 8 Comments

삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 넓이의 고속 적분 -1/12 공식

3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고,  x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는

$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$

이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.

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적분 , , , 11 Comments

소소하지만 확실한 테크닉 – 삼차함수의 극값의 차

3차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 \(x=\alpha\), \(x=\beta\) (단, \(\alpha<\beta\)) 에서 극값 \(f(\alpha)\)와 \(f(\beta)\)를 가질 때, 두 극값의 차는 다음과 같습니다.

$$
|f(\alpha)-f(\beta)|=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^3\tag{1}\label{eq0}$$

이 글에서는 이 공식의 증명과 활용에 대해 이야기 합니다.

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전설의 수학 문제를 찾아서 – 3인의 죄수

전설의 수학 문제를 찾아서, 3번째 문제는 3인의 죄수 문제입니다. 이 문제 역시 전설의 수학 문제 #1과 #2와 같은 조건부 확률 문제입니다. 서벨로니 (Serbelloni) 문제라고도 알려진 이 문제는 1966년 여름 서벨로니 별장에서 열린 이론 생물학회에서 화제가 된 문제입니다.

A, B, C 3명의 죄수가 있습니다. 3명의 죄수 중에서 곧 2명이 처형이 될 예정이고, 3인의 죄수 모두가 이 사실을 알고 있습니다. 하지만 처형이 될 죄수 2명의 이름은 간수만 알고 있습니다. 어느 날 죄수A는 간수에게 죄수B와 C 2명 중에서 적어도 1명이 처형되는 것은 확실하니 B나 C중 누가 처형이 되는지 한 사람의 이름을 말해달라고 부탁했습니다. 이 때 간수는 B가 처형이 될 것이라고 대답해 주었습니다.

이 말을 들은 죄수 A는 자신이 처형될 확률이 낮아졌다고 무척 기뻐했습니다. 대답을 듣기 전 자신이 처형될 확률은 \(\frac{2}{3}\approx 66.7\%\) 였지만 대답을 듣고 난 후 뒤에는 B와 같이 처형될 죄수는 자신이 아니면 C이므로 앞으로 자신이 처형될 확률이 \(\frac{1}{2}=50\%\) 가 되어 자신이 처형될 확률이 간수의 대답을 듣기 전보다 낮아졌다고 생각했기 때문입니다. 간수가 거짓말을 하지 않는다면 과연 죄수의 판단은 옳은 것일까요?

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