원점을 중심으로 [어떤 점을 원점을 중심으로 \(\pm 90^\circ\) 회전이동]하는 것과 같은 방법으로 평면 벡터를 \(\pm 90^\circ\) 회전이동한 결과도 간단히 표현할 수 있습니다.
평면 벡터 \(\overrightarrow{p}=(a,b)\)에 대해
$$\begin{align}&(a,b)\xrightarrow{+90^\circ회전}(-b,a)\\
&(a,b)\xrightarrow{-90^\circ회전}(b,-a)\end{align}$$
2010학년도 가형 14번 문제는 이러한 벡터의 회전이동을 어떻게 이용할 수 있는지 잘 보여주는 문제입니다. 보조선을 이용한 해법이 많이 알려져있지만, 벡터의 회전 이동을 이용하면 보조선 없이 짧은 계산만으로 문제가 요구하는 것을 찾아낼 수 있습니다.
$$\mathrm{\frac{AP}{PB}\cdot\frac{QC}{BQ}\cdot\frac{RA}{CR}}=1$$
메넬라우스의 정리는 그 증명을 이해해도 사용하는 방법을 잘 익혀두지 않으면 실제로 문제를 풀 때 능숙하게 쓰기 어려운 정리입니다. 하지만 일단 사용 방법을 익혀두면 답을 구하는데 아주 편리하게 사용할 수 있는 정리이기도 합니다. 이 글에서는 평면 벡터와 같은 문제에서 메넬라우스의 정리를 잘 쓸 수 있는 방법에 대해 살펴봅니다.사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙 를 확장하면, 사차함수 그래프의 두 변곡점을 지나는 직선 \(l\)에 대해 다음과 같은 대칭성과 비율 관계를 확인할 수 있습니다.
사차함수의 이중접선과 평행하고 한점에서 접하는 직선, 변곡점을 지나는 직선, 이중접선을 각각 \(l_1\), \(l_2\), \(l_3\)라 할 때,
[관계1]. \(l_1\parallel l_2 \parallel l_3\)
[관계2]. \(l_1\)과 \(l_2\)사이의 거리:\(l_2\)와 \(l_3\)사이의 거리=\(5:4\)
[관계3]. 선분 \(\mathrm{HI}\)과 \(\mathrm{JK}\)의 중점은 일치한다.
[관계4]. 세 점 \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{G}\), \(\mathrm{F}\)는 한 직선 위에 있고, \(x\)축과 직교한다.
[관계5]. \(\mathrm{HI}:\mathrm{JK}:\mathrm{AB}:\mathrm{CD}=1:\sqrt{5}:\sqrt{3}:\sqrt{6}\)
사차함수 \(f(x)\)의 그래프가 두 개의 변곡점을 갖고 있을 때, \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 이계도 함수 \(f^{\prime\prime}(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, 사차함수 \(f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식은 $$y=R(x)$$
전설의 수학 문제를 찾아서, 7번째 문제는 \(\tan1^\circ\)의 정체입니다. 이 문제는 여러 개의 기본적인 수학 개념을 조합하여 어떻게 좋은 문제를 만들 수 있는지를 아주 잘 보여주는 문제입니다. 문제의 길이는 아주 짧지만 그 여운은 아주 강렬했던 문제입니다. 실제로 이 문제는 수험생들 중 일부만 풀 수 있었던 것으로 알려져 있습니다. 그 이유는 과연 무엇이었을까요? 이 문제를 풀기 위해 필요한 기본 개념들은 무엇일까요?
\(\tan1^\circ\)는 유리수인가? 무리수인가?
4차함수 \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, 사차 함수의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식은 $$y=R(x)$$
이 글에서는 이 방법의 장점과 원리를 설명합니다. (more…)\(f(x)\)는 \(x\)의 삼차 다항식이다. \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 상수이면, 방정식 $$f(x)=0$$을 만족하는 실근은 1개임을 증명하시오.
이 문제는 삼차함수의 흥미로운 성질을 잘 보여주고 있는 문제입니다. 이 문제는 삼차함수의 어떤 성질을 이용하여 만들어진 문제일까요? 과연 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지의 의미는 무엇일까요?
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$
그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.
\(\frac{0}{0}\) 형태를 가진 삼각함수의 극한은 다음과 같은 근사를 사용하여 간단하면서도 빠르게 그 값을 계산할 수 있습니다.
\(x\rightarrow 0\) 일 때, $$\begin{aligned}\sin{x}&\approx x\\\tan{x}&\approx x\\1-\cos{x}&\approx \frac{x^2}{2}\end{aligned}$$
이 글에서는 삼각함수의 근사를 이용해 삼각함수의 극한을 계산하는 법과 주의할 점에 대해서 알아보겠습니다.좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.
이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.
이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 놀랍게도 변곡점을 갖는 모든 사차함수는 이중접선을 갖고 있습니다. 반대로 이중접선을 갖는 사차함수는 변곡점을 갖고 있습니다. 즉, 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 이중접선을 가질 조건은 함수 \(f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건과 같습니다. 즉,
$$\begin{align}&\text{변곡점을 갖는 사차함수}\\
&\Leftrightarrow\text{이중접선을 갖는 사차함수}\end{align}$$
$$3b^2-8ac>0$$
입니다. 그리고 이 때, 이중접선의 방정식은$$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$
입니다. 이 글에서는 이 조건을 증명하고, 이중접선의 방정식을 유도합니다.
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.
$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 가 성립할 때 점 \(P\)를 \(\triangle{ABC}\)의 가중 무게 중심이라고 합니다. 또한 $$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c$$가 됩니다. 이 글에서는 선분과 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 법과 가중 무게 중심의 위치 벡터, 삼각형의 넓이비에 대해서 알아보겠습니다.
이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 의 두 접점 \((\alpha, f(\alpha)\), \((\beta, f(\beta))\) 에서 그은 두 접선이 만나는 점의 좌표는 $$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\right)$$ 이다. 특히 이 교점의 x좌표는 a와 관계없이 두 접점을 연결한 선분의 중점이 갖는 x좌표와 같다.
이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$
조립제법이란 다항식을 일차식으로 나눈 몫과 나머지를 곱셈과 덧셈만을 반복하여 빠르게 구하는 방법입니다. 다항식을 일차식으로 나누면 특별한 귀납적 관계를 발견할 수 있습니다. 이 귀납적 관계를 핵심원리로 삼아 만들어진 방법이 바로 조립제법입니다. 이 글에서는 일차식의 나눗셈이 가지고 있는 귀납적 관계를 살펴보고 조립제법이 어떻게 이 원리를 사용하고 있는지 알아보겠습니다.