메넬라우스의 정리는 그 증명을 이해해도 사용하는 방법을 잘 익혀두지 않으면 실제로 문제를 풀 때 능숙하게 쓰기 어려운 정리입니다. 하지만 일단 사용 방법을 익혀두면 답을 구하는데 아주 편리하게 사용할 수 있는 정리이기도 합니다. 이 글에서는 평면 벡터와 같은 문제에서 메넬라우스의 정리를 잘 쓸 수 있는 방법에 대해 살펴봅니다.
사차함수의 이중접선과 평행하고 한점에서 접하는 직선, 변곡점을 지나는 직선, 이중접선을 각각 \(l_1\), \(l_2\), \(l_3\)라 할 때,
[관계1]. \(l_1\parallel l_2 \parallel l_3\)
[관계2]. \(l_1\)과 \(l_2\)사이의 거리:\(l_2\)와 \(l_3\)사이의 거리=\(5:4\)
[관계3]. 선분 \(\mathrm{HI}\)과 \(\mathrm{JK}\)의 중점은 일치한다.
[관계4]. 세 점 \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{G}\), \(\mathrm{F}\)는 한 직선 위에 있고, \(x\)축과 직교한다.
[관계5]. \(\mathrm{HI}:\mathrm{JK}:\mathrm{AB}:\mathrm{CD}=1:\sqrt{5}:\sqrt{3}:\sqrt{6}\)
사차함수 \(f(x)\)의 그래프가 두 개의 변곡점을 갖고 있을 때, \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 이계도 함수 \(f^{\prime\prime}(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, 사차함수 \(f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식은 $$y=R(x)$$
전설의 수학 문제를 찾아서, 7번째 문제는 \(\tan1^\circ\)의 정체입니다. 이 문제는 여러 개의 기본적인 수학 개념을 조합하여 어떻게 좋은 문제를 만들 수 있는지를 아주 잘 보여주는 문제입니다. 문제의 길이는 아주 짧지만 그 여운은 아주 강렬했던 문제입니다. 실제로 이 문제는 수험생들 중 일부만 풀 수 있었던 것으로 알려져 있습니다. 그 이유는 과연 무엇이었을까요? 이 문제를 풀기 위해 필요한 기본 개념들은 무엇일까요?
\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,
\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,
베이즈 정리란 사후 확률 (posterior probability) 을 사전 확률 (prior probability) 를 이용하여 표현하는 방법으로 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.
사건 B가 먼저 일어난 후 사건 A가 일어날 때, $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$$$\begin{aligned}P(B|A)&\text{ : 사후 확률, 나중에 일어나는 사건 A를 전제로 하는 조건부 확률}\\
P(B)&\text{ : 사전 확률, 사건 A가 일어나기전 사건 B가 일어날 확률}\\
P(A|B)&\text{ : 사건 B가 일어난 후에 사건 A가 일어날 확률}\end{aligned}$$
이 글에서는 베이즈 정리를 직접 유도해보면서 사후 확률과 베이즈 정리의 의미와 목적에 대해 설명하고, 이 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)