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사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙 를 확장하면, 사차함수 그래프의 두 변곡점을 지나는 직선 \(l\)에 대해 다음과 같은 대칭성과 비율 관계를 확인할 수 있습니다.

사차함수의 이중접선과 평행하고 한점에서 접하는 직선, 변곡점을 지나는 직선, 이중접선을 각각 \(l_1\), \(l_2\), \(l_3\)라 할 때,

[관계1]. \(l_1\parallel l_2 \parallel l_3\)
[관계2]. \(l_1\)과 \(l_2\)사이의 거리:\(l_2\)와 \(l_3\)사이의 거리=\(5:4\)
[관계3]. 선분 \(\mathrm{HI}\)과 \(\mathrm{JK}\)의 중점은 일치한다.
[관계4]. 세 점 \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{G}\), \(\mathrm{F}\)는 한 직선 위에 있고, \(x\)축과 직교한다.
[관계5]. \(\mathrm{HI}:\mathrm{JK}:\mathrm{AB}:\mathrm{CD}=1:\sqrt{5}:\sqrt{3}:\sqrt{6}\)

관련 글

• 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙
• 사차함수의 대칭성 Ⅲ – 이중접선과 넓이의 비율
• 사차함수의 대칭성 Ⅳ – 변곡점을 지나는 직선과 넓이의 비율

준비물

이중접선을 갖는 사차함수의 여러 비율 관계를 살펴보기 위해서는 다음과 같은 사실을 준비해야 합니다.

이중접선 \(y=mx+n\)을 갖는 사차함수 \(f(x)\)의 식

관련 글 : 사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙

이중접선 \(l_3\)의 방정식이 $$y=mx+n$$이고, 직선 \(l_3\)와 접하는 두 접점의 \(x\)좌표가 각각 \(-\alpha\), \(\alpha\)인 사차함수 $$f(x)=x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n$$

\(f(x)\)의 그래프와 한점에서 접하고 이중접선과 평행한 직선 \(l_1\)의 방정식

관련 글 : 사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙

\(f(x)\)의 그래프와 한점에서 접하고 이중접선과 평행한 직선 \(l_1\)의 방정식은 $$y=mx+n+\alpha^4$$

사차함수 \(f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선 \(l_2\)의 방정식

관련 글 :  사차함수의 두 변곡점을 지나는 직선 – f(x)를 f”(x)로 나눈 나머지

사차함수 \(f(x)=x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n\)의 이계도 함수 $$f^{\prime\prime}(x)=12x^2-4\alpha^2$$입니다. 사차함수 \(f(x)\)를 \(f^{\prime\prime}(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면  $$f(x)=(12x^2-4\alpha^2)\left(\frac{1}{12}x^2-\frac{5}{36}\alpha^2\right)+mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4$$이므로 $$\begin{align}Q(x)&=\frac{1}{12}x^2-\frac{5}{36}\alpha^2\\
R(x)&=mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4\end{align}$$입니다. 따라서,

사차함수 \(f(x)\)의 그래프의 두 변곡점을 지나는 직선 \(l_2\)의 방정식은 $$y=R(x)=mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4$$

\(f(x)\)의 그래프와 두 변곡점을 지나는 지나는 직선 \(l_2\)의 교점

사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 두 변곡점을 지나는 직선 \(l_2\)의 방정식을 연립하면$$\begin{align}&f(x)=mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4\\
&\Leftrightarrow x^4-2\alpha^2x^2+mx+n+\alpha^4=mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4\\
&\Leftrightarrow x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4=0\\
&\Leftrightarrow 9x^4-18\alpha^2 x^2+5\alpha^4=0\\
&\Leftrightarrow (3x^2-5\alpha^4)(3x^2-\alpha^2)=0\\
&\therefore x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha, \pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\end{align}$$ 입니다. (점 \(\mathrm{H}\)와 \(\mathrm{I}\)는 변곡점이므로 두 점 \(\mathrm{H}\), \(\mathrm{I}\)의 \(x\)좌표는 방정식 \(f^{\prime\prime}(x)=0\)을 풀어 구할 수도 있습니다.) 따라서 점 \(\mathrm{H}\), \(\mathrm{I}\), \(\mathrm{J}\), \(\mathrm{K}\)의 좌표는 각각

$$\begin{align}
&\mathrm{H}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha,f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)\\
&\mathrm{I}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha,f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)\\
&\mathrm{J}\left(-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha, f\left(-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)\\
&\mathrm{K}\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha,f\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)
\end{align}$$

증명

[관계1]. 세 직선 \(l_1\), \(l_2\), \(l_3\)의 위치관계

세 직선 \(l_1\), \(l_2\), \(l_3\)의 방정식은 각각$$\begin{cases}l_1:y=mx+n+\alpha^4\\
l_2:y=mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4\\
l_3:y=mx+n\end{cases}$$ 입니다.

세 직선 모두 기울기가 \(m\)이므로,

\(l_1\parallel l_2 \parallel l_3\)

[관계2]. 세 직선사이의 거리비

다음으로 세 직선사이의 거리비를 확인해보겠습니다. 세 직선 모두 평행한 직선이므로 세 직선 사이의 거리의 비는 \(y\)절편의 차를 비교하면 알 수 있습니다.  직선 \(l_1\)와 \(l_2\)사이의 거리를 \(d_1\), 직선 \(l_2\)와 \(l_3\)사이의 거리를 \(d_2\)라 하면

$$\begin{align}d_1:d_2&=
(n+\alpha^4)-(n+\frac{4}{9}\alpha^4):(n+\frac{4}{9}\alpha^4)-n\\
&=\frac{5}{9}\alpha^4:\frac{4}{9}\alpha^4\\
&=5:4
\end{align}$$

[관계3]. 선분 \(\mathrm{HI}\)과 \(\mathrm{JK}\)의 중점

선분 \(\mathrm{HI}\)의 중점의 \(x\)좌표는 $$\frac{-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha+\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}{2}=0$$ 이고, 선분 \(\mathrm{JK}\)의 중점의 \(x\)좌표는 $$\frac{-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}{2}=0$$입니다.

선분 \(\mathrm{JK}\)의 중점=선분 \(\mathrm{HI}\)의 중점

[관계4].세 점 \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{G}\), \(\mathrm{F}\)을 잇는 직선

선분\(\mathrm{JK}\)의 중점을 \(\mathrm{G}\)라 하면, 선분 \(\mathrm{CD}\)과 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점인 점 \(\mathrm{E}\), 점 \(\mathrm{F}\)의 \(x\)좌표도 \(0\)입니다. 따라서

세 점 \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{G}\), \(\mathrm{F}\)는 한 직선 위에 있고, 이 직선은 \(x\)축에 수직이다.

[관계5]. \(\mathrm{HI}:\mathrm{JK}:\mathrm{AB}:\mathrm{CD}\)

네 점 \(\mathrm{I}\), \(\mathrm{K}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{D}\)의 \(x\)좌표는 각각 $$\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha, \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha, \alpha, \sqrt{2}\alpha$$입니다. 따라서 $$\begin{align}&\mathrm{HI}:\mathrm{JK}:\mathrm{AB}:\mathrm{CD}\\
=&\frac{1}{\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}:1:\sqrt{2}\\
=&1:\sqrt{5}:\sqrt{3}:\sqrt{6}\end{align}$$