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이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 다음과 같은 비율 관계를 갖고 있습니다.

사차함수의 그래프와 이중접선이 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 접하고, 선분\(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{F}\), 이중접선과 평행한 직선이 사차함수의 그래프와 점\(\mathrm{E}\)에서 접하고 \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에서 만날 때,

[관계①]. 점\(\mathrm{E}\)의 \(x\)좌표=점\(\mathrm{F}\)의 \(x\)좌표
[관계②]. \(\mathrm{AF}:\mathrm{FB}:\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:1:\sqrt{2}:\sqrt{2}\)

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증명을 위한 준비

사차함수의 대칭성을 증명하기 위해서는 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]을 이용해야 합니다.

 다항함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 \(x=t\) 에서 접할 때, 두 식을 빼서 만든 방정식 $$f(x)-g(x)=0$$은 중근 \(x=t\) 를 가진다.

다루어야 할 함수가 사차함수 이므로 아무런 설정 없이 증명을 시작하면 꽤 많은 계산이 필요할 수도 있습니다. 계산량을 줄이기 위해서 증명을 하기전 다음과 같은 설정을 미리 해 두겠습니다.

최고차항의 계수를 1로 두기

먼저 대칭성을 증명하기 위한 사차함수는 $$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$$로 최고차항의 계수를 \(1\)로 두는 것으로 충분합니다. 다음 그림과 같이, 최고차항의 계수가 \(m(\ne 0)\)인 함수 $$m(x^4+ax^3+bx^2+cx+d)$$의 그래프는 최고차항의 계수가 \(1\)인 함수의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(m\)배 한 것입니다. 하지만 이러한 변환은 선분의 길이 비에 영향을 주지 않습니다.

[\(y\)축 방향으로 확대/축소를 하더라도 선분의 길이 비는 변하지 않는다.]

이중접선의 두 접점의 \(x\)좌표를 \(\alpha\)와 \(-\alpha\)로 두기

평행이동 역시 그래픠 대칭성에 영향을 주지 않습니다. 따라서 사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 이중접선 \(g(x)\)의 두 접점 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(-\alpha\)와 \(\alpha\)(단, \(\alpha>0\))로 설정하여 두 접점의 \(x\)좌표를 문자 1개로 표시할 수 있도록 합니다.

증명

\(f(x)-g(x)\)

사차함수의 그래프와 이중 접선의 두 접점의 \(x\)좌표를 설정했으니, 이제 다음 단계는두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질을 이용할 수 있도록 \(f(x)-g(x)\)를 계산하는 것입니다. $$\begin{align}
&f(x)-g(x)\\
&=x^4+ax^3+bx^2+cx+d – (mx+n)\\
&=x^4+ax^3+bx^2+(c-m)x+d-n\\
\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$ 입니다. 그런데, 두 접점 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(-\alpha\)와 \(\alpha\)이므로 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]에 의해 $$\begin{align}
&f(x)-g(x)\\
&=(x+\alpha)^2(x-\alpha)^2\\
&=(x^2-\alpha^2)^2\\
&=x^4-2\alpha^2 x^2+\alpha^4
\tag{2}\label{eq2}\end{align}$$ \(\eqref{eq1}=\eqref{eq2}\) 이므로 \(\eqref{eq1}\)과 \(\eqref{eq2}\)의 양변을 비교하면 $$\begin{cases}a=0\\ b=-2\alpha^2\\c-m=0\Leftrightarrow c=m\\d-n=\alpha^4\Leftrightarrow d=\alpha^4+n\end{cases}$$입니다.

\(f(x)\)의 식 구하기

이 결과를 이용하여 \(f(x)\)를 다시 쓰면, \((\alpha, f(\alpha)) \), \( (-\alpha, f(-\alpha))\)에서 직선 \(y=mx+n\)에 이중으로 접하는 사차함수 \(f(x)\)의 식을 알 수 있습니다. $$f(x)=x^4-2\alpha^2 x^2+mx+\alpha^4+n$$입니다.

이제 이중접선과 평행하며, 사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 한 점에서 접하고 서로 다른 두 점에서 만나는 직선 \(h(x)\)의 방정식을 생각해보겠습니다. 직선 \(h(x)\)의 기울기는 이중 접선 \(g(x)\)의 기울기 \(m\)과 같아야 하므로 $$h(x)=mx+k$$입니다.

\(f(x)-h(x)\)

이중접선때와  마찬가지로, 사차함수의 \(f(x)\)의 그래프와 직선 \(h(x)\)의 그래프가 만나는 점을 분석하기 위해서는 \(f(x)-h(x)\)를 계산해 보아야 합니다.

직선 \(h(x)\)가 사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 접하는 점 \(\mathrm{C}\)의 \(x\)좌표를 \(\beta\), 직선 \(h(x)\)가 사차함수 \(f(x)\)와 만나는 서로 다른 두 점 \(\mathrm{D}\)와 \(\mathrm{E}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(\gamma\), \(\delta\) (단, \(\delta>\gamma\))라고 하면 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]에 의해 $$f(x)-h(x)=(x-\gamma)(x-\beta)^2(x-\delta)\tag{3}\label{eq3}$$입니다. 그런데, $$\begin{align}
&f(x)-h(x)\\
&=x^4-2\alpha^2 x^2+mx+\alpha^4+n-(mx+k)\\
&=x^4-2\alpha^2 x^2 + \alpha^4+n-k\end{align}\tag{4}\label{eq4}$$ 이므로 \(\eqref{eq3}=\eqref{eq4}\)이 되어 $$\begin{align}
&(x-\gamma)(x-\beta)^2(x-\delta)\\&=x^4-2\alpha x^2 + \alpha^4+n-k\end{align}\tag{5}\label{eq5}$$입니다. 이제 좌변을 전개하고 우변과 계수를 비교해야 하는데, 먼저 이 식의 우변을 더 관찰하면 의미있는 정보를 찾아낼 수 있습니다. 이 식의 우변 $$x^4-2\alpha x^2 + \alpha^4+n-k$$에는 홀수차 항이 없고 짝수차 항만 존재합니다. 따라서 우변의 그래프는 \(y\)축 대칭이 되어야 합니다. 따라서 이 식의 좌변 $$(x-\gamma)(x-\beta)^2(x-\delta)$$의 그래프 역시 \(y\)축 대칭이 되어야 하므로 $$\begin{cases}\beta=0\\\gamma=-\delta\end{cases}$$ 가 되어야 한다는 것을 빠르게 알 수 있습니다. (물론 계수 비교를 하여도 같은 결론을 얻을 수 있습니다.)

이제 이 결과를 사용하면 다음과 같이 식이 무척 간결해 집니다. $$\begin{align}\eqref{eq5}&\Leftrightarrow(x+\delta)x^2(x-\delta)=x^4-2\alpha^2 x^2 + \alpha^4+n-k\\
&\Leftrightarrow x^4-\delta^2x^2=x^4-2\alpha^2 x^2 + \alpha^4+n-k\end{align}$$ 입니다. 이제 [관계①]과 [관계②]를 증명할 모든 준비가 되었습니다.

[관계①]

먼저, 점 \(\mathrm{A}(-\alpha, f(-\alpha))\)와 점 \(\mathrm{B}(\alpha, f(\alpha))\) 의 중점 \(\mathrm{F}\)의 \(x\)좌표는 $$\frac{-\alpha+\alpha}{2}=0$$입니다. 마찬가지로, 점 \(\mathrm{D}(-\delta, f(-\delta))\)와 점 \(\mathrm{C}(\delta, f(\delta))\)의 중점 \(\mathrm{E}\)의 \(x\)좌표는 $$\frac{-\delta+\delta}{2}=0$$입니다. 따라서 $$점\mathrm{F}의\ x좌표=점\mathrm{E}의\ x좌표$$

[관계②]

$$x^4-\delta^2x^2=x^4-2\alpha^2 x^2 + \alpha^4+n-k$$ 이므로 양변의 계수를 비교하면, $$\delta^2=2\alpha^2$$이고, \(\alpha>0\), \(\delta>0\) 이므로 $$\delta=\sqrt{2}\alpha$$입니다. 따라서 $$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}:\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$$