모든 정사각형의 모양은 한가지뿐입니다. 그렇다면 정삼각형의 모양은 모두 몇가지 일까요? 모든 정삼각형의 모양 역시 한가지입니다. 이러한 도형들의 공통점은 무엇일까요? 바로 닮음입니다. 모든 정사각형은 서로 닮음이고, 모든 정삼각형도 서로 닮음입니다. 마찬가지로, 포물선의 모양은 오직 한가지 뿐입니다.
$$\begin{align}
&①.\text{ 모든 포물선은 서로 닮음이다.}\\
&②.\ y=ax^2\text{과 }y=bx^2\text{의 닮음비}=|b|:|a|\end{align}$$
방정식 \(f(x,y)=0\)의 그래프를 원점을 중심으로 \(k\)배 (\(k>0\)) 닮음 변환한 그래프의 방정식은
$$f\left(\frac{x}{k}, \frac{y}{k}\right)=0$$
이 글에서는 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음 변환에 대해 설명하고, 몇가지 중요한 예들을 살펴봅니다.
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$
그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.
이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)위에 있는 세 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)의 \(x\)좌표가 각각 \(p\),\(q\),\(r\)이라 할 때, (단, \(p<q<r\)) 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는
$$\frac{|a|}{2}(p-q)(q-r)(r-p)$$
삼각형의 세 변의 길이가 각각 \(a\), \(b\), \(c\)이고, 한 개 이상의 변의 길이가 무리수인 삼각형의 넓이는 헤론의 공식의 또 다른 형태
$$\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$$
을 사용합니다. 이 글에서는 이 식의 사용법과 증명을 알아 보겠습니다.
사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 사차함수 \(f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선으로 둘러싸인 세 부분의 넓이의 비는 다음과 같습니다.
$$S_1:S_2:S_3=1:2:1$$
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사차함수 그래프의 이중접선을 \(l_1\), 이중 접선과 평행하고 한 점에서 접하는 직선을 \(l_2\) 라고 할 때, 사차함수의 그래프와 \(l_2\)로 둘러싸인 부분의 넓이와 사차함수의 그래프와 \(l_1\)으로 둘러싸인 부분의 넓이의 비율은 다음과 같습니다.
$$S_1:S_2:S_3=1:\sqrt{2}:1$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 \(p\)배 \((p>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=pf(x)$$
\(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(\dfrac{1}{q}\)배 \((q>0)\) 확대 변환한 그래프의 방정식은 $$y=f(qx)$$
그래프의 확대 변환은 교과서에서 그 이름을 찾을 수 없는 개념이지만 많은 문제에서 사용하고 있는 개념입니다. 이 글에서는 그래프의 확대 변환의 개념과 확대 변환이 사용되는 예를 설명합니다.
\(\frac{0}{0}\) 형태를 가진 삼각함수의 극한은 다음과 같은 근사를 사용하여 간단하면서도 빠르게 그 값을 계산할 수 있습니다.
\(x\rightarrow 0\) 일 때, $$\begin{aligned}\sin{x}&\approx x\\\tan{x}&\approx x\\1-\cos{x}&\approx \frac{x^2}{2}\end{aligned}$$
이 글에서는 삼각함수의 근사를 이용해 삼각함수의 극한을 계산하는 법과 주의할 점에 대해서 알아보겠습니다.이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 놀랍게도 변곡점을 갖는 모든 사차함수는 이중접선을 갖고 있습니다. 반대로 이중접선을 갖는 사차함수는 변곡점을 갖고 있습니다. 즉, 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 이중접선을 가질 조건은 함수 \(f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건과 같습니다. 즉,
$$\begin{align}&\text{변곡점을 갖는 사차함수}\\
&\Leftrightarrow\text{이중접선을 갖는 사차함수}\end{align}$$
$$3b^2-8ac>0$$
입니다. 그리고 이 때, 이중접선의 방정식은$$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$
입니다. 이 글에서는 이 조건을 증명하고, 이중접선의 방정식을 유도합니다.좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.
이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.
$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 가 성립할 때 점 \(P\)를 \(\triangle{ABC}\)의 가중 무게 중심이라고 합니다. 또한 $$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c$$가 됩니다. 이 글에서는 선분과 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 법과 가중 무게 중심의 위치 벡터, 삼각형의 넓이비에 대해서 알아보겠습니다.
이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 의 두 접점 \((\alpha, f(\alpha)\), \((\beta, f(\beta))\) 에서 그은 두 접선이 만나는 점의 좌표는 $$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\right)$$ 이다. 특히 이 교점의 x좌표는 a와 관계없이 두 접점을 연결한 선분의 중점이 갖는 x좌표와 같다.
이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$
조립제법이란 다항식을 일차식으로 나눈 몫과 나머지를 곱셈과 덧셈만을 반복하여 빠르게 구하는 방법입니다. 다항식을 일차식으로 나누면 특별한 귀납적 관계를 발견할 수 있습니다. 이 귀납적 관계를 핵심원리로 삼아 만들어진 방법이 바로 조립제법입니다. 이 글에서는 일차식의 나눗셈이 가지고 있는 귀납적 관계를 살펴보고 조립제법이 어떻게 이 원리를 사용하고 있는지 알아보겠습니다.