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\(f(x)\)는 \(x\)의 삼차 다항식이다. \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 상수이면, 방정식 $$f(x)=0$$을 만족하는 실근은 1개임을 증명하시오.

이 문제는 삼차함수의 흥미로운 성질을 잘 보여주고 있는 문제입니다. 이 문제는 삼차함수의 어떤 성질을 이용하여 만들어진 문제일까요? 과연 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지의 의미는 무엇일까요?

이 문제는 문제에서 요구한 조건이 참임을 증명하는 데 아주 복잡한 계산이 필요하지 않습니다. 하지만 계산을 마치고, 한 걸음 더 생각해본다면 이 문제의 출제자가어떤 배경을 가지고 문제를 만들었는지 알아낼 수 있습니다. 문제의 출제자가 생각한 삼차함수의 성질은 어떤 것이었는지, 함께 찾아 보겠습니다.

증명1. 직접 증명

증명을 위한 준비

문제에서 요구한 방정식 \(f(x)=0\)의 실근의 개수는 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 개수를 세는 것으로 대신 할 수 있습니다. 따라서 이 문제에서는 삼차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수를 \(1\)로 두는 것으로 충분합니다. \(y\)축 방향으로 그래프를 \(m\)배 (\(m\ne 0\)) 하더라도 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 개수는 변하지 않기 때문입니다. 다시 말해, 0아닌 실수 \(m\)에 대해$$x^3+ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow m(x^3+ax^2+bx+c)=0$$ 이므로 $$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$$로 두는 것으로 충분합니다.

몫과 나머지의 계산

삼차함수 \(f(x)\)의 도함수 $$f'(x)=3x^2+bx+c$$이므로 \(f(x)=x^3+3x^2+bx+c\)를 \(f'(x)=3x^2+bx+c\)로 나눈 나누면 몫 \(Q(x)\)과 나머지 \(R(x)\)를 각각 구하면 $$\begin{align}Q(x)&=\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}a\\R(x)&=\frac{2}{9}(3b-a^2)x+c\end{align}$$ 그런데, 나머지가 상수라고 하였으므로 나머지 $$R(x)=\frac{2}{9}(3b^2-a)x+c$$가 상수가 될 조건은 $$3b-a^2=0$$ 즉, $$a^2-3b=0$$입니다.

\(a^2-3b=0\)의 의미

그렇다면 \(a^2-3b=0\)의 의미는 무엇일까요? \(a^2-3b\)의 값은 방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수와 어떤 관계가 있을까요? 이미 알아차리신 분도 있을 것 같습니다. 네 그렇습니다! \(a^2-3b\)는 바로 방정식 $$f'(x)=3x^2+2ax+b=0$$의 판별식 $$\frac{D}{4}=a^2-3b$$입니다.

이제 문제에서 요구하는 것이 확실해 졌습니다. 방정식 \(f'(x)=0\)의 판별식의 값이 \(0\)이므로 방정식 \(f'(x)=0\)은 중근을 갖고, 언제나 도함수 $$f'(x)=3x^2+2ax+b\geq 0$$입니다. 따라서 삼차함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 증가하는 증가함수이므로, 방정식 $$f(x)=0$$의 실근은 \(1\)개 입니다.

증명2. 귀류법을 이용한 증명

귀류법을 사용하여 증명할 수도 있습니다. 이 때 삼차함수의 두 극점을 연결한 직선과 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지의 관계를 사용합니다.

먼저 결론을 부정하여,

\(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 상수일 때, 방정식 \(f'(x)=0\)의 근은 1개가 아니다

라고 하겠습니다. \(f(x)\)는 삼차함수이고, 치역이 \((-\infty, \infty)\) 인 연속함수이므로 방정식 \(f(x)=0\) 의 실근의 개수는 적어도 \(1\)개입니다. 따라서 방정식 \(f(x)=0\)의 실근이 1개가 아니라면 결국 방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수는 \(2\)개 또는 \(3\)개가 되어야 합니다.

그런데, 실수 전체에서 증가하거나 감소하는 삼차함수의 그래프는 언제나 \(x\)축과 한점에서 만나기 때문에 방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수가 \(2\)개또는 \(3\)개가 되려면, 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프는 극댓점과 극솟점을 갖고 있어야 합니다.

이제 삼차함수의 두 극점을 연결한 직선과 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지의 관계 를 생각해보면, \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지는 두 극점을 연결한 직선의 방정식이 되어야 합니다. 삼차함수의 두 그래프의 극점은 \(y\)좌표가 같지 않으므로 삼차함수의 두 극점을 연결한 직선의 기울기는 \(0\)이 될 수 없습니다. 따라서 이 직선의 방정식은 \(y=c\) (\(c\)는 상수\)가 될 수 없습니다. 따라서 삼차함수 \(f(x)\)를 그 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 나머지는 상수가 될 수 없습니다. 그런데 이것은 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 상수라는 문제의 가정과 모순이 됩니다.

따라서 방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수는 \(1\)입니다.

문제의 출제자가 생각한 것

결국 문제의 출제자가 주목한 삼차함수의 성질은 다음과 같습니다.

삼차함수 \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 상수이면 \(f(x)\)는 실수 전체에서 증가함수이다

그렇다면 다음 명제는 참일까요? 거짓일까요? (이 물음에 대한 답은 연습문제로 남겨두겠습니다.)

삼차함수 \(f(x)\)가 증가함수이면, \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지는 상수이다.