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4차함수 \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, 사차 함수의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식은 $$y=R(x)$$

이 방법을 사용하면 세 극점의 좌표를 구하고 이 좌표를 각각 포물선의 방정식에 대입하여 미정계수를 구하는 과정을 거치지 않아도 되므로 무척 빠른 시간내에 포물선의 방정식을 구할 수 있습니다. 

증명

사차함수의 세 극점을 지나는 포물선은 삼차함수의 두 극점을 지나는 직선의 방정식을  구하는 것과 같은 방법을 사용합니다. 먼저 사차함수의 세 극점의 좌표를 $$\begin{align}&(\alpha, f(\alpha))\\&(\beta, f(\beta))\\&(\gamma, f(\gamma)\end{align}$$라 합니다.

\(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, \(Q(x)\)는 일차식, \(R(x)\)는 이차이하의 다항식입니다. 즉 $$\begin{align}f(x)&=f'(x)Q(x)+R(x)\\
=&f'(x)Q(x)+ax^2+bx+c\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$입니다. 이제 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)를 식 \(\eqref{eq1}\)에 대입하면 $$f'(\alpha)=f'(\beta)=f'(\gamma)=0$$이므로 $$\begin{align}
f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha^2+b\alpha+c=a\alpha^2+b\alpha+c\tag{2}\label{eq2}\\
f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta^2+b\beta+c=a\beta^2+b\beta+c\tag{3}\label{eq3}\\
f(\gamma)&=f'(\gamma)Q(\gamma)+a\gamma^2+b\gamma+c=a\gamma^2+b\gamma+c\tag{4}\label{eq4}
\end{align}$$입니다. 이 3개의 식은 세 점 $$\begin{align}&(\alpha, f(\alpha))\\&(\beta, f(\beta))\\&(\gamma, f(\gamma)\end{align}$$의 좌표를 각각 방정식 $$y=ax^2+bx+c$$에 대입한 것으로 해석할 수 있습니다. 만약 \(a=0\)이라면, 세 점은 한 직선 위에 있어야 합니다. 그런데 사차함수의  세 극점은 한 직선위에 있을 수 없기 때문에 때문에 \(a\ne 0\)입니다. 즉 $$y=R(x)=ax^2+bx+c$$는 사차함수의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식입니다.

예제

\(f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2\)

\(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 $$f'(x)=x^3-4x^2+3x$$로 나눈 몫 \(Q(x)\)와 나머지 \(R(x)\)는 각각 $$\begin{align}Q(x)&=\frac{1}{4}x-\frac{1}{3}\\
R(x)&=-\frac{7}{12}x^2+x\end{align}$$입니다. $$\begin{align}f'(x)&=x^3-4x^2+3x\\&=x(x-1)(x-3)\end{align}$$이므로 사차함수 \(f(x)\)는 세 개의 극점 $$\begin{align}(0, f(0))&=(0,0)\\(1,f(1))&=\left(1, \frac{5}{12}\right)\\(3,f(3))&=\left(3,-\frac{9}{4}\right)\end{align}$$을 가지고 있으므로 이 세 점을 지나는 포물선의 방정식은 $$y=R(x)=-\frac{7}{12}x^2+x$$입니다.(실제 세 극점의 좌표를 포물선의 방정식에 대입해 보면 잘 성립하는 것을 알 수 있습니다.)